Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 43 trang 23 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) \(y = 3\sin x + 5\)
b) \(y = \sqrt {1 + \cos 2x} + 3\)
c) \(y = 4 - 2\sin x\cos x\)
d) \(y = \frac{1}{{4 - \sin x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất \( - 1 \le \sin x \le 1\), \( - 1 \le \cos x \le 1\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow 2 \le 3\sin x + 5 \le 8\).
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Hàm số xác định khi \(1 + \cos 2x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ge - 1\) (luôn đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\))
Do đó, tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow 3 \le \sqrt {1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt 2 \).
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3 + \sqrt 2 \) khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi \(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Do \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), nên \(y = 4 - 2\sin x\cos x = 4 - \sin 2x\).
Vì \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin 2x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin 2x \ge 3\), nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi \(\sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Hàm số xác định khi \(4 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 4\) (luôn đúng do \(\sin x \le 1 < 4\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)). Do đó, tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin x \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{1}{{4 - \sin x}} \le \frac{1}{3}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{3}\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{5}\) khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Bài 43 trang 23 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép biến đổi lượng giác, tính chất của hàm số lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 43 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 43 trang 23, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập. Lưu ý rằng, lời giải này chỉ mang tính chất tham khảo. Bạn nên tự mình suy nghĩ và giải bài tập trước khi tham khảo lời giải để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề bài: Chứng minh rằng sin2x + cos2x = 1
Lời giải:
Ta có: sin2x + cos2x = (sin x)2 + (cos x)2. Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có: (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Vậy, sin2x + cos2x = 1 (đpcm).
Đề bài: Rút gọn biểu thức: A = sin x + cos x
Lời giải:
Biểu thức A = sin x + cos x không thể rút gọn thêm được nữa. Đây là dạng biểu thức cơ bản trong lượng giác.
Để giải bài tập hàm số lượng giác một cách hiệu quả, bạn có thể tham khảo một số mẹo sau:
Để học tốt môn Toán 11, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi đã trình bày, bạn sẽ tự tin hơn khi giải bài 43 trang 23 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
