Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 62 trang 118, 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án, hướng dẫn giải chi tiết và phân tích từng bước để giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp các tài liệu học tập chất lượng và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(B'C'\), \(DD'\).
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(B'C'\), \(DD'\).
a) Chứng minh rằng \(ADC'B'\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
c) Chứng minh rằng \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\) và \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).
d*) Xác định giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt của hình hộp.
e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MNP} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\) lần lượt tại \(I\), \(J\), \(H\). Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{JH}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng tứ giác \(ADC'B'\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau, từ đó suy ra \(ADC'B'\) là hình bình hành.
b) Để chứng minh rằng \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), ta cần chứng minh rằng \(BD\) song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( {AB'D'} \right)\). Ta cũng làm tương tự để chứng minh \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
c) Theo câu b, ta đã chứng minh được \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\). Do đó, để chứng minh \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\), ta cần chỉ ra thêm 1 đường thẳng song song với \(\left( {AB'D'} \right)\) và cắt \(MN\). Sử dụng các kết quả thu được ở câu b và câu c để suy ra \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).
d) Gọi \(E\), \(F\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(C'D'\), \(B'B\), \(AB\). Ta sẽ chứng minh rằng sáu điểm \(E\), \(F\), \(K\), \(M\), \(N\), \(P\) đồng phẳng, từ đó chỉ ra được sáu đường thẳng \(MP\), \(PE\), \(EN\), \(NF\), \(FK\), \(KM\) chính là các giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) với sáu mặt của hình hộp.
e) Gọi \(R\), \(O\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) với \(MK\) và \(BD\). Chỉ ra rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AC\) cắt ba mặt phẳng song song \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MPENFK} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\) và sử dụng định lí Thales trong không gian để tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{JH}}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp, nên ta có \(ABCD\) và \(BCC'B'\) là các hình bình hành. Vì \(ABCD\) là hình bình hành, ta có \(AD\parallel CB\) và \(AD = CB\). Mà \(BCC'B'\) cũng là hình bình hành, nên ta có \(B'C'\parallel BC\) và \(B'C' = BC\).
Như vậy ta suy ra \(AD\parallel B'C'\) và \(AD = B'C'\). Điều này có nghĩa \(ADC'B'\) là hình bình hành. Ta có điều phải chứng minh.
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp, ta có \(BB' = DD'\) và \(BB'\parallel DD'\). Suy ra \(DBB'D'\) là hình bình hành, suy ra \(BD\parallel B'D'\). Mà \(B'D' \subset \left( {AB'D'} \right)\), ta suy ra \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
Xét tứ giác \(AMNB'\), ta có \(AM\parallel NB'\) (do \(AD\parallel B'C'\)) và \(AM = NB'\) (do cùng bằng một nửa \(AD\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \(MN\parallel AB'\). Do \(AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\), ta suy ra \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
c) Theo câu b, ta đã chứng minh được \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
Do \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(P\) là trung điểm của \(DD'\), nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(AD'D\). Suy ra \(MP\parallel AD'\). Do \(AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(MP\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
Như vậy \(\left( {MNP} \right)\) có hai đường thẳng \(MN\) và \(MP\) cùng song song với \(\left( {AB'D'} \right)\), và hai đường thẳng này cắt nhau tại \(M\), nên ta kết luận \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
Vì \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\) nên ta suy ra \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).
d*) Gọi \(E\), \(F\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(C'D'\), \(B'B\), \(AB\).
Do \(P\) là trung điểm của \(DD'\), \(E\) là trung điểm của \(C'D'\) nên \(PE\) là đường trung bình của tam giác \(C'D'D\), suy ra \(PE\parallel C'D\).
Tứ giác \(DMNC'\) có \(DM\parallel NC'\) (do \(AD\parallel B'C'\)) và \(DM = NC'\) (do cùng bằng một nửa \(AD\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \(MN\parallel DC'\).
Như vậy ta suy ra \(PE\parallel MN\), điều đó có nghĩa \(E \in \left( {MNP} \right)\). Chứng minh tương tự ta cũng có \(F \in \left( {MNP} \right)\) và \(K \in \left( {MNP} \right)\). Như vậy sáu điểm \(E\), \(F\), \(K\), \(M\), \(N\), \(P\) đồng phẳng.
Xét mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) (cũng là mặt phẳng \(\left( {MPENFK} \right)\)) và \(\left( {ADD'A'} \right)\), ta thấy rằng \(M\) và \(P\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng trên, như vậy giao tuyến của \(\left( {MPENFK} \right)\) và \(\left( {ADD'A'} \right)\) chính là đường thẳng \(MP\).
Chứng minh tương tự, giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MPENFK} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\), \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), \(\left( {BCC'B'} \right)\), \(\left( {ABB'A'} \right)\), \(\left( {ABCD} \right)\) lần lượt là các đường \(PE\), \(EN\), \(NF\), \(FK\), \(KM\).
e*) Gọi \(R\), \(O\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) với \(MK\) và \(BD\).
Xét ba mặt phẳng song song \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MPENFK} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\), ta thấy đường thẳng \(AC\) lần lượt cắt ba mặt phẳng trên tại \(A\), \(R\), \(O\). Hơn nữa, theo đề bài, đường thẳng \(d\) cũng cắt ba mặt phẳng song song trên lần lượt tại \(I\), \(J\) và \(H\). Theo định lí Thales trong không gian, ta có \(\frac{{AR}}{{IJ}} = \frac{{RO}}{{JH}} = \frac{{AO}}{{IH}} \Rightarrow \frac{{IJ}}{{JH}} = \frac{{AR}}{{RO}}\).
Do \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Hơn nữa, do \(R\) là giao điểm của \(AC\) và \(MK\), nên \(R\) là trung điểm của \(AO\), do đó \(\frac{{AR}}{{RO}} = 1\). Như vậy \(\frac{{IJ}}{{JH}} = 1\).
Bài 62 trang 118, 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 62 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, được chia thành các phần nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải quyết bài 62 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Đường thẳng c cắt a tại điểm A. Chứng minh rằng đường thẳng c cắt b tại một điểm duy nhất.
Giải: Vì a và b song song với nhau, và đường thẳng c cắt a tại A, nên theo tính chất của hai đường thẳng song song, đường thẳng c cũng sẽ cắt b tại một điểm duy nhất. Điểm đó nằm trên đường thẳng b và thỏa mãn điều kiện song song với a.
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo các bài tập sau:
Bài 62 trang 118, 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
| Dạng bài tập | Phương pháp giải |
|---|---|
| Xác định quan hệ song song | Sử dụng định lý về hai đường thẳng song song |
| Xác định quan hệ vuông góc | Sử dụng định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng |
