Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết, kèm theo các giải thích cụ thể để bạn có thể hiểu rõ bản chất của bài toán.
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
Đề bài
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)
b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)
c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)
d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\)để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).
c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\)
b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), ta suy ra \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha < 0\).
Như vậy \(B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)
c) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).
d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
\( = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)
Bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng.
Bài 13 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn giải bài 13 trang 11 một cách hiệu quả, chúng tôi sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết cho từng dạng bài tập:
Khi gặp bài tập yêu cầu xác định các vectơ trong không gian, bạn cần xác định rõ các điểm và sử dụng công thức tính vectơ:
AB = B - A
Trong đó, A và B là tọa độ của hai điểm trong không gian.
Để thực hiện các phép toán vectơ, bạn cần áp dụng các quy tắc sau:
Để chứng minh đẳng thức vectơ, bạn cần biến đổi vế trái về vế phải hoặc ngược lại, sử dụng các tính chất của phép toán vectơ.
Khi ứng dụng vectơ để giải các bài toán hình học, bạn cần sử dụng các tính chất sau:
Bài tập: Cho A(1; 2; 3), B(2; 4; 5), C(3; 6; 7). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải:
Ta có: AB = (2 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (1, 2, 2)
AC = (3 - 1, 6 - 2, 7 - 3) = (2, 4, 4)
Vì AC = 2AB, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
