Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 44 trang 56 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải bài 44 trang 56 một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\). Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\). Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
b) Tìm công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\).
c) Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta có \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{3}{v_{n - 1}}\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, sử dụng công thức \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}}\) để xác định công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{v_n}} \right)\), từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\).
c) Ta có:
\(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} = \left( {{u_1} - \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} - \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{u_{10}} - \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10\)
\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} + 5\).
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\left( {{v_n}} \right)\), ta có \(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}} = \frac{{{u_n} - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right)}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, ta có \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
Suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} + \frac{3}{2} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
c) Ta có:
\(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} = \left( {{u_1} - \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} - \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{u_{10}} - \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10\)
\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} + 5 = \frac{{ - 1}}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 5 = \frac{{280483}}{{19683}}\).
Bài 44 trang 56 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.
Bài 44 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 44 trang 56, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Chúng tôi sẽ sử dụng các công thức và định lý liên quan đến phép biến hình để giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả.
Câu hỏi: Cho điểm A(1; 2). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1).
Lời giải:
Công thức phép tịnh tiến: A'(x'; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Áp dụng công thức vào bài toán:
A'(x'; y') = A(1; 2) + v(3; -1) = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)
Vậy, ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 44 trang 56 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
