Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải bài tập một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = - 2), ({u_{n + 1}} = frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}) với (n in {mathbb{N}^*}).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = - 1\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\), từ đó ta tìm được công thức của \({v_n}\) theo \(n\). Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên ta sẽ tìm được công thức của \({u_n}\) theo \(n\).
c) Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(S = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}} - 20\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)
\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).
Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).
Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)
c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:
\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)
\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)
Bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Nội dung bài tập 27: Bài tập thường yêu cầu chúng ta giải phương trình lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác, hoặc tìm giá trị của biểu thức lượng giác.
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải một ví dụ cụ thể từ bài tập 27. Giả sử bài tập yêu cầu chúng ta giải phương trình:
sin(x) = 1/2
Bước 1: Xác định các nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Trong trường hợp này, sin(x) = 1/2 có các nghiệm là x = 30° + k360° và x = 150° + k360°, với k là số nguyên.
Bước 2: Tìm các nghiệm thuộc khoảng xác định. Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm trong khoảng (0°, 180°), chúng ta sẽ có x = 30° và x = 150°.
Bước 3: Kiểm tra lại các nghiệm để đảm bảo tính chính xác.
Ngoài việc giải phương trình lượng giác, bài tập 27 còn có thể bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập hàm số lượng giác một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về hàm số lượng giác, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà giaitoan.edu.vn cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
