Bài 1.11 trang 10 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.11 trang 10, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho (cos 2x = - frac{4}{5}) với (frac{pi }{4} < x < frac{pi }{2})
Đề bài
Cho \(\cos 2x = - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\)
Tính \(\sin x,\cos x,\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right),\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào điều kiện về góc x, ta xét dấu \(\sin x\), \(\cos x\).
Áp dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
Áp dụng công thức nhân đôi: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) và công thức cộng:
\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
\(\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Lời giải chi tiết
Vì \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin x > 0\), \(\cos x > 0\). Áp dụng công thức hạ bậc ta có
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\)
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{9}{{10}} \Rightarrow \sin x = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)
Áp dụng công thức cộng ta có
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}.\)
Lại có \(\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}}\).
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{6}{{10}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}.\)
Bài 1.11 trang 10 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta tìm số hạng tổng quát của dãy số. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.
Đề bài cho một dãy số và yêu cầu tìm công thức tổng quát của số hạng thứ n. Việc này đòi hỏi chúng ta phải quan sát kỹ quy luật của dãy số, từ đó xác định được dạng của số hạng tổng quát.
Có nhiều phương pháp để tìm số hạng tổng quát của dãy số, tùy thuộc vào dạng của dãy số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Để giải bài 1.11 trang 10, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Giả sử số hạng tổng quát của dãy số là un = f(n). Chúng ta sẽ chứng minh rằng công thức này đúng với mọi n thuộc N*.
Bước 1: Kiểm tra với n = 1
Thay n = 1 vào công thức, ta được u1 = f(1). So sánh với giá trị u1 đã cho trong đề bài, ta thấy công thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là uk = f(k).
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k+1
Chúng ta cần chứng minh rằng uk+1 = f(k+1). Sử dụng giả thiết uk = f(k) và các quy luật của dãy số, chúng ta có thể biểu diễn uk+1 theo uk. Sau đó, thay uk = f(k) vào biểu thức, ta sẽ được uk+1 = f(k+1). Điều này chứng tỏ công thức đúng với n = k+1.
Kết luận:
Vậy, công thức tổng quát của dãy số là un = f(n).
Giả sử dãy số được cho bởi u1 = 2 và un+1 = un + 3. Chúng ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số này bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Kiểm tra với n = 1
u1 = 2. Giả sử un = 3n - 1.
Thay n = 1 vào công thức, ta được u1 = 3(1) - 1 = 2. Vậy công thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
Giả sử uk = 3k - 1.
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k+1
uk+1 = uk + 3 = (3k - 1) + 3 = 3k + 2 = 3(k+1) - 1.
Vậy công thức đúng với n = k+1.
Kết luận:
Số hạng tổng quát của dãy số là un = 3n - 1.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 1.11 trang 10 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
