Giải bài 3.21 trang 51 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 3.21 trang 51 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3.21 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, bài 3.21 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng cho trước. Để làm được điều này, học sinh cần xác định được hàm số cần tối ưu hóa, khoảng xác định của hàm số, và các điều kiện ràng buộc (nếu có).

Các bước giải bài tập 3.21 trang 51

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
2. Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Các điểm này được gọi là các điểm dừng hoặc điểm tới hạn của hàm số.
3. Bước 3: Xác định loại điểm dừng. Sử dụng đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại của các điểm dừng. Nếu f''(x) > 0 tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu. Nếu f''(x) < 0 tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu f''(x) = 0, thì cần sử dụng các phương pháp khác để xác định loại điểm dừng.
4. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng xác định. Tính f(x) tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng xác định.
5. Bước 5: So sánh các giá trị và kết luận. So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định.

Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 trên khoảng [-1, 3]. Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng này, chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: f'(x) = 3x^2 - 6x
• Bước 2: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Bước 3: f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
• Bước 4: f(0) = 2, f(2) = -2, f(-1) = -6, f(3) = 8
• Bước 5: So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 8 (tại x = 3) và giá trị nhỏ nhất là -6 (tại x = -1).

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập 3.21, học sinh cần chú ý các điểm sau:

• Đảm bảo rằng hàm số liên tục và khả vi trên khoảng xác định.
• Kiểm tra kỹ các điều kiện ràng buộc của bài toán.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định chính xác loại của các điểm dừng.
• Không quên tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của khoảng xác định.

Ứng dụng của bài tập 3.21 trong thực tế

Các bài toán tối ưu hóa như bài 3.21 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và sản xuất, chẳng hạn như:

• Kinh tế: Tìm giá trị tối ưu của sản lượng để đạt lợi nhuận cao nhất.
• Kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc có độ bền cao nhất với chi phí thấp nhất.
• Khoa học: Tìm điều kiện tối ưu để một phản ứng hóa học xảy ra nhanh nhất.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh có thể tự tin giải bài 3.21 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!