Bài 5.2 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.2 trang 78, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính các giới hạn sau:
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n - 2} \right);\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 1} } \right);\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 2} + n} \right);\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {3n - \sqrt {4{n^2} + 1} } \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = + \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 2n - 4}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 2 - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 + \frac{2}{n}}} = - 1\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} + 3}}{{2 + {n^2} + \sqrt {{n^4} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^4}}}} }} = 2\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 2} + n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = + \infty \)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {3n - \sqrt {4{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\left( {3 - \sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) = + \infty \)
Bài 5.2 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết bài 5.2 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức:
Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tính f'(x) và tìm các điểm cực trị của hàm số.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Vậy:
Kết luận: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Ngoài bài 5.2 trang 78, sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức còn nhiều bài tập tương tự về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Để giải tốt các bài tập này, học sinh cần:
Một số dạng bài tập thường gặp:
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý một số điều sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.2 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
