Bài 6.56 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ.
Đề bài
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) tức điểm \(M\) nằm trên một đồ thị thì \(M'\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(y = x\) sẽ nằm trên đồ thị còn lại.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để vẽ đồ thị ta làm như sau:
Lập bảng giá trị
Xác định các điểm trên mặt phẳng tọa độ rồi nối các điểm đó lại
b) Xét điểm \(A\left( {{x_0},{e^{{x_0}}}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).
Viết phương trình đường thằng d đi qua \(A\) vuông góc với đường thẳng \(y = x\):
Toạ độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{d}}\) và đường thẳng \(y = x\) là điểm \(B\)
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thằng \(y = x\). Ta tìm được tọa độ \(A'\). Khi đó chứng minh\(A'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\).
Tương tự nếu điểm \(B\left( {{x_0}{\rm{;ln}}{x_0}} \right)\) nằm trền đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\) thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điềm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(y = x\) và chứng minh \(B'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\theta ^x}\).
Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Lời giải chi tiết
a) Đồ thị của hai hàm số \(y = {e^x}\) và \(y = {\rm{ln}}x\) trên cùng một hệ trục toạ độ như hình sau:
b) Xét điểm \(A\left( {{x_0},{e^{{x_0}}}} \right)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).
Viết phương trình đường thằng đi qua \(A\) vuông góc với đường thẳng \(y = x\):
Toạ độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{d}}\) và đường thẳng \(y = x\) là \(B\left( {\frac{{{x_0} + {e^{{x_0}}}}}{2};\frac{{{x_0} + {e^{{x_0}}}}}{2}} \right)\)
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thằng \(y = x\). Ta tìm được \(A'\left( {{e^{{x_0}}};{x_0}} \right)\). Khi đó \(A'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\). Tương tự nếu điếm \(B\left( {{x_0}{\rm{;ln}}{x_0}} \right)\) nằm trền đồ thị hàm số \(y = {\rm{ln}}x\) thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điềm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(y = x\) và chứng minh \(B'\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).
Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Chú ý: Tổng quát, có thề chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x(0 < a \ne 1)\) đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phẩn tư thứ nhất (tức là đường thẳng \(y = x\) ).
Bài 6.56 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán thuộc chương trình hình học không gian, cụ thể là phần đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản như:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích bài toán để xác định rõ yêu cầu và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Thông thường, bài toán dạng này sẽ yêu cầu:
Để cung cấp lời giải chi tiết, chúng ta cần biết nội dung cụ thể của bài toán 6.56. Giả sử bài toán có nội dung như sau:
Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: x = t, y = t + 1, z = t + 2. Hãy tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d là lớn nhất.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1; 1; 1).
Với t = 0, ta có điểm M(0; 1; 2) thuộc đường thẳng d.
Vectơ AM = (1 - 0; 2 - 1; 3 - 2) = (1; 1; 1).
Khoảng cách từ A đến đường thẳng d được tính theo công thức:
d(A, d) = ||AM x a|| / ||a||
AM x a = (1*1 - 1*1; 1*1 - 1*1; 1*1 - 1*1) = (0; 0; 0)
Do đó, d(A, d) = 0. Điều này có nghĩa là điểm A nằm trên đường thẳng d.
Trong trường hợp này, vì A nằm trên đường thẳng d, khoảng cách từ A đến đường thẳng d luôn bằng 0. Do đó, không có điểm B nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi giải các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Bài 6.56 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, bạn đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc bạn học tốt!
