Bài 1.37 trang 26 sách bài tập Toán 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp cận nhất, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Biết \(\sin x = \frac{1}{2}\). Giá trị của \({\cos ^2}x\) bằng
Đề bài
Biết \(\sin x = \frac{1}{2}\). Giá trị của \({\cos ^2}x\) bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính.
Lời giải chi tiết
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\)
Đáp án D.
Bài 1.37 yêu cầu chúng ta xét tính đơn điệu của dãy số (un) được xác định bởi u1 = 3 và un+1 = 2un - 1.
Để xác định công thức tổng quát, ta có thể tính một vài số hạng đầu tiên của dãy:
Nhận thấy các số hạng của dãy có dạng 2n + 1. Ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Kiểm tra với n = 1
u1 = 21 + 1 = 3 (đúng)
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
Giả sử uk = 2k + 1
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k+1
Ta cần chứng minh uk+1 = 2k+1 + 1
Theo công thức truy hồi, uk+1 = 2uk - 1 = 2(2k + 1) - 1 = 2k+1 + 2 - 1 = 2k+1 + 1
Vậy công thức đúng với n = k+1.
Kết luận: Công thức tổng quát của dãy số là un = 2n + 1.
Để xét tính đơn điệu, ta xét hiệu un+1 - un:
un+1 - un = (2n+1 + 1) - (2n + 1) = 2n+1 - 2n = 2n(2 - 1) = 2n > 0 với mọi n ≥ 1.
Vì un+1 - un > 0 với mọi n ≥ 1, nên dãy số (un) là dãy số tăng.
Vậy, bài 1.37 trang 26 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức đã được giải quyết như sau:
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Để hiểu rõ hơn, ta có thể tính u5 = 25 + 1 = 33. Ta thấy u5 > u4, điều này khẳng định tính tăng của dãy số.
Khi giải các bài toán về dãy số, việc xác định đúng công thức tổng quát là bước quan trọng nhất. Hãy luôn kiểm tra lại công thức bằng phương pháp quy nạp để đảm bảo tính chính xác.
