Bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và tính chất của dãy số để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.39 trang 41, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.
Đề bài
Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) và công thức số hạng tổng quát để tìm ra số hạng đầu tiên và công bội.
Lời giải chi tiết
Đáp án D.
Cấp số nhân \({u_1} = {u_3}\frac{1}{{{q^2}}},\,\,{u_2} = {u_3}.\frac{1}{q},\,\,{u_3},\,{u_4} = \,{u_1}.q,\,\,{u_5} = {u_1}.{q^2}\)
Tích của 5 số hạng này là: \(P = {u_3}\frac{1}{{{q^2}}}.{u_3}.\frac{1}{q}.{u_3}.{u_3}.q.{u_3}.{q^2} = u_3^5\).
Suy ra \(1024 = u_3^5 \Rightarrow {u_3} = 4.\) (1).
Tổng của cấp số nhân 5 số hạng này là :
\(\begin{array}{l}{S_5} = \frac{{{u_3}\frac{1}{{{q^2}}}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{u_3}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}} = \frac{{4.\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}} \Rightarrow 31 = \frac{{4\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}}\\ \Rightarrow 31.{q^2}(1 - q) = 4\left( {1 - {q^5}} \right)\\ \Rightarrow 31.{q^2}(1 - q) = 4(1 - q)(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4})\\ \Rightarrow (1 - q)(4{q^4} + 4{q^3} - 27{q^2} + 4q + 4) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {\frac{4}{{{q^2}}} + \frac{4}{q} - 27 + 4q + 4{q^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {\frac{4}{{{q^2}}} + 8 + 4{q^2} + \frac{4}{q} + 4q - 35} \right) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {{{\left( {\frac{2}{q} + 2q} \right)}^2} + 2\left( {\frac{2}{q} + 2q} \right) - 35} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1\\\frac{2}{q} + 2q = - 7\\\frac{2}{q} + 2q = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1(L)\\2{q^2} + 7q + 2 = 0\\2{q^2} - 5q + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{{\sqrt {33} - 7}}{4}\\q = \frac{{ - \sqrt {33} - 7}}{4}\\q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\end{array}\).
Vậy có 4 nghiệm q thỏa mãn. Vậy có 4 cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến dãy số, cụ thể là việc xác định số hạng tổng quát của dãy số và tính tổng của dãy số đó. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về dãy số, bao gồm:
Để giải bài 2.39 trang 41, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài và xác định các thông tin quan trọng. Sau đó, chúng ta sẽ áp dụng các công thức và tính chất của dãy số để tìm ra lời giải.
(Giả sử đề bài là: Cho dãy số (un) với u1 = 2 và un+1 = 2un + 1. Tìm số hạng tổng quát un và tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.)
Ta có: u1 = 2, u2 = 2u1 + 1 = 5, u3 = 2u2 + 1 = 11, u4 = 2u3 + 1 = 23,...
Nhận thấy các số hạng của dãy số có dạng 2n+1 - 1. Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp.
Ta thử biến đổi công thức truy hồi: un+1 + 1 = 2un + 2 = 2(un + 1). Đặt vn = un + 1. Khi đó vn+1 = 2vn. Vậy (vn) là một cấp số nhân với công bội q = 2 và v1 = u1 + 1 = 3.
Suy ra vn = v1 * qn-1 = 3 * 2n-1. Do đó un = vn - 1 = 3 * 2n-1 - 1.
Sn = u1 + u2 + ... + un = (3 * 20 - 1) + (3 * 21 - 1) + ... + (3 * 2n-1 - 1)
Sn = 3 * (20 + 21 + ... + 2n-1) - n = 3 * (2n - 1) / (2 - 1) - n = 3 * (2n - 1) - n = 3 * 2n - 3 - n.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = 3 * 2n-1 - 1 và tổng Sn của n số hạng đầu tiên là Sn = 3 * 2n - 3 - n.
Để củng cố kiến thức về dãy số, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các tài liệu học tập trực tuyến hoặc tham gia các khóa học toán online để nâng cao kỹ năng giải toán.
Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức và tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự.
