Bài 1.5 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 1.5 trang 7, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho \(\sin a + \cos a = m\). Hãy tính theo m.
Đề bài
Cho \(\sin a + \cos a = m\). Hãy tính theo m.
a) \(\sin a\cos a\)
b) \({\sin ^3}a + {\cos ^3}a\)
c) \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và áp dụng công thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\sin a + \cos a = m\) nên \({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {m^2}\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}a + 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = {m^2}\\ \Rightarrow \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 2\sin a\cos a = {m^2}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin a\cos a = {m^2}\\ \Rightarrow 2\sin a\cos a = {m^2} - 1\\ \Rightarrow \sin a\cos a = \frac{{{m^2} - 1}}{2}.\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}{\sin ^3}a + {\cos ^3}a\\ = (\sin a + \cos a)({\sin ^2}a - \sin a\cos a + {\cos ^2}a)\\ = m.\left[ {({{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a) - \sin a\cos a} \right]\\ = m.(1 - \sin a\cos a)\\ = m\left( {1 - \frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right) = m.\frac{{2 - {m^2} + 1}}{2} = m.\frac{{3 - {m^2}}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}.\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}{\sin ^4}a + {\cos ^4}a\\ = \left( {{{\sin }^4}a + 2{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + {{\cos }^4}a} \right) - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a\\ = {\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)^2} - 2{(\sin a{\mathop{\rm cosa}\nolimits} )^2}\\ = {1^2} - 2{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{4} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}.\end{array}\)
Bài 1.5 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập thuộc chương trình học về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Bài 1.5 trang 7 yêu cầu chúng ta tìm số hạng tổng quát của một dãy số hoặc một cấp số. Để làm được điều này, chúng ta cần xác định được quy luật của dãy số hoặc cấp số đó.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài 1.5 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống:
Đề bài: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết u1 = 2 và un+1 = un + 3.
Lời giải:
Ta có: u2 = u1 + 3 = 2 + 3 = 5
u3 = u2 + 3 = 5 + 3 = 8
u4 = u3 + 3 = 8 + 3 = 11
Nhận thấy dãy số (un) là một cấp số cộng với u1 = 2 và công sai d = 3.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: un = u1 + (n - 1)d = 2 + (n - 1)3 = 3n - 1.
Đề bài: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (vn) biết v1 = 1 và vn+1 = 2vn.
Lời giải:
Ta có: v2 = 2v1 = 2 * 1 = 2
v3 = 2v2 = 2 * 2 = 4
v4 = 2v3 = 2 * 4 = 8
Nhận thấy dãy số (vn) là một cấp số nhân với v1 = 1 và công bội q = 2.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: vn = v1 * qn-1 = 1 * 2n-1 = 2n-1.
Khi giải các bài tập về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, các em học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống.
Bài 1.5 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự.
