Bài 6.31 trang 19 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải nắm vững các kiến thức về quy tắc tính đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định điểm cực trị.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 6.31 trang 19, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Giải các phương trình mũ sau:
Đề bài
Giải các phương trình mũ sau:
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\);
b) \({9^{2x}} \cdot {27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\)
c) \({\left( {{e^4}} \right)^x} \cdot {e^{{x^2}}} = {e^{12}}\)
d) \({5^{2x - 1}} = 20\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b(\) với \(0 < a \ne 1)\).
- Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).
- Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:
Nếu\({\rm{\;\;}}0 < a \ne 1{\rm{\;thì\;}}{a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u = v{\rm{.\;}}\)
Lời giải chi tiết
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}} \Leftrightarrow {2^{4x - 2}} = {2^{3x + 9}} \Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9 \Leftrightarrow x = 11\).
b) \({9^{2x}} \cdot {27^{{x^2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {3^{4x}} \cdot {3^{3{x^2}}} = {3^{ - 1}} \Leftrightarrow {3^{3{x^2} + 4x + 1}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{1}{3}}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\)
c) \({\left( {{e^4}} \right)^x} \cdot {e^{{x^2}}} = {e^{12}} \Leftrightarrow {e^{4x}} \cdot {e^{{x^2}}} = {e^{12}} \Leftrightarrow {e^{{x^2} + 4x - 12}} = 1\).
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 6.}\end{array}} \right.\)
d) \({5^{2x - 1}} = 20 \Leftrightarrow 2x - 1 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}20 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}20} \right)\).
Bài 6.31 trang 19 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và tìm các điểm cực trị của hàm số này. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
f'(x) = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
f''(x) = 6x - 6
Kết luận:
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Việc hiểu rõ các bước thực hiện và ý nghĩa của đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tương tự. Đạo hàm cấp một cho biết độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm, và đạo hàm cấp hai cho biết độ cong của đồ thị hàm số tại điểm đó. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai, chúng ta có thể xác định được điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số.
Ngoài việc tìm cực trị của hàm số, đạo hàm còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc của một vật thể. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính chi phí biên và doanh thu biên. Trong kỹ thuật, đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa các thiết kế và quy trình.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và dễ hiểu này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài 6.31 trang 19 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức và tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
