Bài 7.31 trang 38 sách bài tập Toán 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.31 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = AA' = a\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = AA' = a\). Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B'C'\).
b) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B'C'\).
Bước 1: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng \(B'C'\).
Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B'C'} \right) = AH\).
Bước 2: Tính \(AH\)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\).
Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng \(AB'\) và song song với \(BC\) là \(\left( {AB'C'} \right)\)
Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc
\(d\left( {BC,AB'} \right) = d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right).\)
Bước 2: Tính \(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B'C'} \right) = AH\).
Ta có: \(AB' = AC' = B'C' = a\sqrt 2 \) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {A,B'C'} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
b) Vì \(BC//\left( {AB'C'} \right)\) nên \(d\left( {BC,AB'} \right) = d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right).\)
Mà \(CA'\) cắt \(AC'\) tại trung điểm của \(CA'\) nên \(d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\)
Đặt \(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = h\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A'{B^{{\rm{'}}2}}}} + \frac{1}{{A'{C^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {BC,AB'} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 7.31 trang 38 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Trong bài toán này, hàm số có thể là biểu thức tính diện tích, chi phí, lợi nhuận, hoặc bất kỳ đại lượng nào khác mà bài toán yêu cầu.
Xác định tập xác định của hàm số là bước quan trọng để đảm bảo rằng các giá trị của biến số nằm trong phạm vi cho phép. Tập xác định có thể bị giới hạn bởi các điều kiện thực tế của bài toán.
Tính đạo hàm cấp một của hàm số để tìm các điểm cực trị. Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm bất kỳ.
Giải phương trình đạo hàm cấp một bằng 0 để tìm các điểm cực trị. Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ.
Xét dấu đạo hàm cấp một trên các khoảng xác định để xác định tính đơn điệu của hàm số. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Dựa vào các điểm cực trị và tính đơn điệu của hàm số, xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định. Đây là kết quả cuối cùng của bài toán tối ưu hóa.
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích cố định sao cho chu vi nhỏ nhất. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x và y. Ta có:
Từ diện tích, ta có y = A/x. Thay vào chu vi, ta được P = 2(x + A/x). Tính đạo hàm của P theo x, ta có P' = 2(1 - A/x^2). Giải phương trình P' = 0, ta được x = sqrt(A). Khi đó, y = sqrt(A). Vậy mảnh đất hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông với cạnh bằng sqrt(A).
Khi giải bài toán tối ưu hóa, cần lưu ý các điểm sau:
Để rèn luyện kỹ năng giải bài toán tối ưu hóa, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài 7.31 trang 38 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải bài tập Toán 11.
