Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 - Kết nối tri thức tại giaitoan.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế của dãy tỉ số bằng nhau, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
I. Các kiến thức cần nhớ
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
* Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) ta suy ra:
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
Ví dụ: \(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 + 5}}{{6 + 3}} = \dfrac{{15}}{9}\)
\(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 - 5}}{{6 -3}}\)
* Mở rộng
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$
Ví dụ:
\(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{2.10 + 3.5}}{{2.6 + 3.3}} = \dfrac{{35}}{{21}}\)
Chú ý:
Khi nói các số \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,\,b,\,c\) tức là ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\). Ta cũng viết \(x:y:z = a:b:c\)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b\) .
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;\)\(y = \dfrac{p}{{a - b}}.b\) .
Ví dụ: Tìm hai số \(x;y\) biết \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4\)
Do đó \(\frac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12\) và \(\frac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.\)
Vậy \(x = - 12;y = - 20.\)
Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\), ta làm như sau:
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b\); \(z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c\).
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp:
Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)
Cách 1: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)
Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \)\(\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)
Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).
Cách 2: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}\) từ đó tìm được \(x\) và \(y.\)
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức
Phương pháp:
+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài
+ Lập được tỉ lệ thức
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.
Dãy tỉ số bằng nhau là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 7, Kết nối tri thức. Hiểu rõ lý thuyết này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tỉ lệ, tỉ số và các ứng dụng thực tế.
Một dãy các số a1, a2, ..., an được gọi là dãy tỉ số bằng nhau nếu tồn tại một số k khác 0 sao cho:
a1 = k * b1, a2 = k * b2, ..., an = k * bn
Trong đó, b1, b2, ..., bn là các số khác 0.
Nếu a1, a2, ..., an là dãy tỉ số bằng nhau với b1, b2, ..., bn thì:
Dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:
Ví dụ 1: Chia số 120 thành ba phần tỉ lệ với 2, 3 và 5.
Gọi ba phần đó là x, y và z. Ta có:
x : y : z = 2 : 3 : 5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/2 = y/3 = z/5 = (x + y + z) / (2 + 3 + 5) = 120 / 10 = 12
Từ đó, ta tìm được:
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thỏa mãn a : b : c = 3 : 4 : 5 và a + b + c = 36. Tính a, b, c.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a/3 = b/4 = c/5 = (a + b + c) / (3 + 4 + 5) = 36 / 12 = 3
Từ đó, ta tìm được:
Để củng cố kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 - Kết nối tri thức là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ và tỉ số. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của dãy tỉ số bằng nhau sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học Toán.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về chủ đề này. Chúc bạn học tập tốt!
