Bài 1.9 thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị của SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về điều kiện xác định của hàm số, các phép toán trên hàm số và cách xác định tập xác định của hàm số hợp.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán 11 hiệu quả.
Tính (sin 2a,cos 2a,tan 2a,;)biết: a) (sin a = frac{1}{3}) và (frac{pi }{2} < a < pi );
Đề bài
Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:
a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);
b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)
\(\Leftrightarrow \cos a =\pm\sqrt { \frac{8}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Vì \(\cos a < 0\) nên \(cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\)
b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\)
\({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)
Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0\)
\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (Vì \(\cos a < 0)\)
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\)
Bài 1.9 yêu cầu xác định tập xác định của các hàm số sau:
1. f(x) = √(x - 3)
Hàm số f(x) xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là:
x - 3 ≥ 0
⇔ x ≥ 3
Vậy tập xác định của f(x) là D = [3; +∞).
2. g(x) = 1 / (x + 2)
Hàm số g(x) xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là:
x + 2 ≠ 0
⇔ x ≠ -2
Vậy tập xác định của g(x) là D = ℝ \ {-2}.
3. h(x) = (x + 1) / (x - 1)
Hàm số h(x) xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là:
x - 1 ≠ 0
⇔ x ≠ 1
Vậy tập xác định của h(x) là D = ℝ \ {1}.
4. k(x) = √(4 - x²)
Hàm số k(x) xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là:
4 - x² ≥ 0
⇔ x² ≤ 4
⇔ -2 ≤ x ≤ 2
Vậy tập xác định của k(x) là D = [-2; 2].
5. l(x) = √(x + 1) + √(2 - x)
Hàm số l(x) xác định khi và chỉ khi cả hai biểu thức dưới dấu căn đều không âm, tức là:
x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
và
2 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2
Vậy tập xác định của l(x) là D = [-1; 2].
Khi xác định tập xác định của hàm số, cần chú ý đến các điều kiện sau:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải trên giaitoan.edu.vn để hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập về tập xác định của hàm số.
Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về điều kiện xác định của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài tập toán 11 một cách hiệu quả hơn.
| Hàm số | Tập xác định |
|---|---|
| f(x) = √(x - 3) | D = [3; +∞) |
| g(x) = 1 / (x + 2) | D = ℝ \ {-2} |
| h(x) = (x + 1) / (x - 1) | D = ℝ \ {1} |
| k(x) = √(4 - x²) | D = [-2; 2] |
| l(x) = √(x + 1) + √(2 - x) | D = [-1; 2] |
