Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và các ứng dụng thực tế của công thức này.

1. Biến cố độc lập là gì?

Trước khi đi vào công thức nhân xác suất, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Ví dụ: Gieo một đồng xu cân đối hai lần. Biến cố A: “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và biến cố B: “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp” là hai biến cố độc lập.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra (ký hiệu là P(A∩B)) được tính bằng:

P(A∩B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp, không trả lại. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “Quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ” và B là biến cố “Quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng)

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng)

Do đó, P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt 6.

Giải:

Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6” và B là biến cố “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6”.

P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

Vì hai lần gieo là độc lập, nên P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

4. Ứng dụng của công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Thống kê: Tính xác suất của các sự kiện phức tạp dựa trên xác suất của các sự kiện đơn giản hơn.
• Khoa học dữ liệu: Xây dựng các mô hình dự đoán dựa trên xác suất.
• Kinh doanh: Đánh giá rủi ro và đưa ra quyết định dựa trên xác suất.

5. Bài tập luyện tập

1. Một chiếc hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
2. Gieo hai đồng xu cân đối. Tính xác suất để cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.
3. Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn ba phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng cả ba phát.

6. Kết luận

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một công cụ quan trọng trong việc tính toán xác suất và giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững lý thuyết và áp dụng thành thạo công thức này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc học tập và nghiên cứu môn Toán.