Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để bạn dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào thực tế.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a; b). Khi đó
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {u + v} \right)}^\prime } = u' + v';}\\{{{\left( {u - v} \right)}^\prime } = u' - v';}\\{{{\left( {uv} \right)}^\prime } = u'v + uv';}\\{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right);}\end{array}\)
\(\left( {ku} \right)' = ku'\) (k là hằng số);
\(\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\left( {v \ne 0} \right)\).
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, học sinh được giới thiệu về các quy tắc tính đạo hàm, giúp đơn giản hóa quá trình tìm đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
Để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
Cho hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm tại x:
Cho hàm số y = f(g(x)). Đạo hàm của y được tính theo công thức:
y' = f'(g(x)) * g'(x)
Ví dụ: y = sin(x2). Khi đó, f(x) = sin x và g(x) = x2. Do đó, y' = cos(x2) * 2x = 2x cos(x2)
Nếu y là hàm ẩn của x, tức là y = y(x) thỏa mãn phương trình F(x, y) = 0, thì đạo hàm dy/dx được tính bằng công thức:
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x2 + 2sin x - 5
y' = (3x2)' + (2sin x)' - (5)' = 6x + 2cos x - 0 = 6x + 2cos x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)cos x
y' = (x2 + 1)'cos x + (x2 + 1)(cos x)' = 2x cos x + (x2 + 1)(-sin x) = 2x cos x - (x2 + 1)sin x
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các quy tắc này và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong quá trình học tập và làm việc.
