Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 của giaitoan.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 17, 18 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
a) Cho (a = frac{pi }{4}) và (b = frac{pi }{6}), hãy chứng tỏ (cos left( {a - b} right) = cos acos b + sin asin b).
a) Cho \(a = \frac{\pi }{3}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
b) Bằng cách viết \(a + b = a - \left( { - b} \right)\) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính \(\cos \left( {a + b} \right).\)
c) Bằng cách viết \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\;\)và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính \(\sin \left( {a - b} \right)\).
Phương pháp giải:
Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt
Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: VT = \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{6}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(VP = \cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{1 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = VT\)
Vậy \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)
b) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a--b) = \cos a\cos \left( { - b} \right) + \sin a\sin \left( { - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)
c) Ta có: \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b\)
\( = \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
Chứng minh rằng:
a) \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\;\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x\)
b) Ta có:
\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\)
Giải bài toán trong tình huống mở đầu
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( t \right) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = 5\sin t + 5\cos t = 5\left( {\sin t + \cos t} \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Suy ra: \(k = 5\sqrt 2 ,\;\varphi = \frac{\pi }{4}\).
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc giới thiệu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở đầu cho chương trình Giải tích. Việc hiểu rõ về giới hạn sẽ giúp học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân một cách dễ dàng hơn.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài tập này yêu cầu học sinh xét tính tồn tại của giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ, xét hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) tại x = 1. Ta có:
lim (x->1-) f(x) = lim (x->1-) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x->1-) (x + 1) = 2
lim (x->1+) f(x) = lim (x->1+) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x->1+) (x + 1) = 2
Vì lim (x->1-) f(x) = lim (x->1+) f(x) = 2, nên giới hạn của f(x) tại x = 1 tồn tại và bằng 2.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số bằng cách sử dụng các tính chất của giới hạn. Để giải bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ, xét giới hạn lim (x->2) (x^2 + 3x - 1) / (x - 1). Ta có:
lim (x->2) (x^2 + 3x - 1) / (x - 1) = (lim (x->2) (x^2 + 3x - 1)) / (lim (x->2) (x - 1)) = (2^2 + 3*2 - 1) / (2 - 1) = (4 + 6 - 1) / 1 = 9
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải bài tập về giới hạn của hàm số. Chúc các em học tốt!
