Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 4 trang 91 và 92 sách giáo khoa Toán 11 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
a) Với (h ne 0,) biến đổi hiệu (sin left( {x + h} right) - sin x) thành tích
Video hướng dẫn giải
a) Với \(h \ne 0,\) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích.
b) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} = 1\) và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:
- Công thức lượng giác \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\)
- \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x = 2\cos \frac{{2x + h}}{2}.\sin \frac{h}{2}\)
b) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)
Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số \(y' = \cos x\)
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\)
Video hướng dẫn giải
Bằng cách viết \(y = \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\cos x} \right)' = {\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x\)
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = - 2{\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)^,}\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\)
Video hướng dẫn giải
a) Bằng cách viết \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x.\)
b) Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) với \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x.\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)
- Sử dụng quy tắc \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(y' = \left( {\tan x} \right)' = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^,} = \frac{{\left( {\sin x} \right)'.\cos x - \sin x.\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
b) \(\left( {\cot x} \right)' = {\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^,} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (dựa vào ý a)
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2{\tan ^2}x + 3\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};\\\left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y' = 2\left( {{{\tan }^2}x} \right)' + 3\left[ {\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)} \right]' = 2.2\tan x.\left( {\tan x} \right)' + 3.\frac{{ - \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)'}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\\ = 4\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\end{array}\)
Video hướng dẫn giải
Một vật chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\left( m \right),\) với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
- Ý nghĩa vật lí: \(v = s'\)
- Công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\left[ {\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]' = - 4\left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)'.\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\)
Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là
\(v\left( 5 \right) = - 8\pi \sin \left( {10\pi - \frac{\pi }{8}} \right) \approx 9,6\)(m/s)
Mục 4 của chương trình Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các khái niệm như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các phép biến hình này là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức hình học nâng cao hơn trong chương trình học.
Trang 91 và 92 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức bao gồm các bài tập vận dụng kiến thức về các phép biến hình để giải quyết các bài toán thực tế. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:
Bài 1 yêu cầu học sinh thực hiện phép tịnh tiến một điểm hoặc một hình. Để giải bài này, các em cần nắm vững công thức của phép tịnh tiến: V(x; y) = V(x + a; y + b), trong đó (a; b) là vectơ tịnh tiến.
Ví dụ: Cho điểm A(1; 2) và vectơ tịnh tiến v = (3; -1). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến v.
Giải: A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Bài 2 tập trung vào phép quay. Để giải bài này, các em cần hiểu rõ công thức của phép quay quanh gốc tọa độ O(0; 0) với góc quay α: Q(O; α)(x; y) = (x cos α - y sin α; x sin α + y cos α).
Ví dụ: Cho điểm B(2; 0) và góc quay α = 90°. Tìm ảnh B' của điểm B qua phép quay Q(O; 90°).
Giải: B'(2 cos 90° - 0 sin 90°; 2 sin 90° + 0 cos 90°) = B'(0; 2)
Bài 3 liên quan đến phép đối xứng trục. Để giải bài này, các em cần xác định trục đối xứng và tìm điểm đối xứng của một điểm qua trục đó. Điểm đối xứng N'(x'; y') của điểm N(x; y) qua trục d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
x' = x - 2a(ax + by + c) / (a² + b²)
y' = y - 2b(ax + by + c) / (a² + b²)
Bài 4 yêu cầu học sinh thực hiện phép đối xứng tâm. Điểm đối xứng I'(x'; y') của điểm I(x; y) qua điểm O(a; b) được tính theo công thức: I'(2a - x; 2b - y).
Ví dụ: Cho điểm C(-1; 3) và điểm O(2; 1). Tìm ảnh C' của điểm C qua phép đối xứng tâm O.
Giải: C'(2(2) - (-1); 2(1) - 3) = C'(5; -1)
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu sâu hơn về các phép biến hình:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 91, 92 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
