Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (y = - {x^2} + 4x,) biết:
Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 4x,\) biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1\);
b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right)\)
\(= - 2{x_0} + 4\).
Vậy hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = - 2x + 4\).
a) Ta có:
\(f'\left( 1 \right) = - 2.1 + 4 = 2\);
\(f\left( 1 \right) = 3\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)
b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)
+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\).
+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) = - 4\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y = - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y = - 4x + 16\).
Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 9.3 yêu cầu học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử chúng ta có đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z = 5. Để tìm giao điểm của d và (P), ta thay tọa độ của điểm thuộc d vào phương trình của (P):
2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) = 5
2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t = 5
5t + 3 = 5
5t = 2
t = 2/5
Thay t = 2/5 vào phương trình của d, ta được giao điểm I(1 + 2/5, 2 - 2/5, 3 + 4/5) = (7/5, 8/5, 19/5).
Bài tập về đường thẳng và mặt phẳng thường xuất hiện trong các dạng sau:
Để giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng hiệu quả, học sinh nên:
Kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, như hình học không gian, vật lý, kiến trúc, và đồ họa máy tính.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Giaitoan.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
