Cấp số nhân là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu về lý thuyết Cấp số nhân, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội. Dãy số này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học ứng dụng.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:
Các bài tập về cấp số nhân thường xoay quanh các nội dung sau:
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.
Giải: Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là: u5 = u1.q5-1 = 2.34 = 2.81 = 162
Ví dụ 2: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2.
Giải: Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: S10 = u1.(1 - q10) / (1 - q) = 1.(1 - 210) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| un = a.qn-1 | Số hạng tổng quát |
| Sn = n.a (q = 1) | Tổng n số hạng đầu tiên (q = 1) |
| Sn = a.(1 - qn) / (1 - q) (q ≠ 1) | Tổng n số hạng đầu tiên (q ≠ 1) |
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan và hiểu rõ hơn về lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
