Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 89 và 90 sách giáo khoa Toán 11 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số (y = {x^3} + {x^2}) tại điểm x bất kì.
Video hướng dẫn giải
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) tại điểm x bất kì.
b) So sánh: \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right)'\) và \(\left( {{x^3}} \right)' + \left( {{x^2}} \right)'.\)
Phương pháp giải:
- \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} + {x^2} - x_0^3 - x_0^2}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right) = 3x_0^2 + 2{x_0}\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) có đạo hàm là hàm số \(y' = 3{x^2} + 2x\)
b) \({\left( {{x^3}} \right)^,} + {\left( {{x^2}} \right)^,} = 3{x^2} + 2x\)
Do đó \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right)'\) = \(\left( {{x^3}} \right)' + \left( {{x^2}} \right)'.\)
Video hướng dẫn giải
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}};\)
b) \(y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right).\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv';{\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
- Sử dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n - 1}};{\left( {\sqrt x } \right)^,} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(y' = \frac{{\left( {\sqrt x } \right)'\left( {x + 1} \right) - \sqrt x \left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} - \sqrt x }}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1 - 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - x + 1}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y' = \left( {\sqrt x + 1} \right)'\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)' = \frac{{{x^2} + 2}}{{2\sqrt x }} + \left( {\sqrt x + 1} \right).2x\)
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Cụ thể, các em sẽ được tìm hiểu về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các phép biến hình này là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức hình học nâng cao hơn trong chương trình.
Trang 89 và 90 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức bao gồm các bài tập vận dụng kiến thức về các phép biến hình để giải quyết các bài toán thực tế. Các bài tập này thường yêu cầu các em:
Bài 1 yêu cầu các em thực hiện phép tịnh tiến một điểm hoặc một hình. Để giải bài này, các em cần nắm vững công thức của phép tịnh tiến: V(a,b)(x,y) = (x+a, y+b). Trong đó, (a,b) là vectơ tịnh tiến, (x,y) là tọa độ của điểm ban đầu và (x+a, y+b) là tọa độ của điểm sau khi tịnh tiến.
Bài 2 tập trung vào phép quay. Các em cần hiểu rõ cách xác định tâm quay, góc quay và chiều quay. Công thức của phép quay quanh gốc tọa độ O(0,0) với góc α là: QO(α)(x,y) = (x cos α - y sin α, x sin α + y cos α).
Bài 3 liên quan đến phép đối xứng trục. Để tìm ảnh của một điểm qua một trục đối xứng, các em cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó lên trục đối xứng và sau đó kéo dài đoạn thẳng nối điểm đó với hình chiếu vuông góc một khoảng bằng độ dài đoạn thẳng ban đầu.
Bài 4 yêu cầu các em thực hiện phép đối xứng tâm. Công thức của phép đối xứng tâm I(a,b) là: ĐI(x,y) = (2a-x, 2b-y). Trong đó, (a,b) là tọa độ của tâm đối xứng, (x,y) là tọa độ của điểm ban đầu và (2a-x, 2b-y) là tọa độ của điểm sau khi đối xứng.
Khi giải các bài tập về phép biến hình, các em cần lưu ý những điều sau:
Các phép biến hình có ứng dụng rất lớn trong thực tế, ví dụ như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 89, 90 SGK Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
| Phép biến hình | Công thức |
|---|---|
| Tịnh tiến | V(a,b)(x,y) = (x+a, y+b) |
| Quay | QO(α)(x,y) = (x cos α - y sin α, x sin α + y cos α) |
| Đối xứng trục | Tìm hình chiếu vuông góc và kéo dài |
| Đối xứng tâm | ĐI(x,y) = (2a-x, 2b-y) |
