Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về vector, ma trận và các phép biến đổi hình học.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Giải các phương trình lượng giác sau:
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}tanx = tan55^\circ ;\\b,\,\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Lời giải chi tiết
a, Điều kiện xác định: \(x \ne 90^\circ + k180^\circ \).
Ta có:\({\rm{ }}tanx = tan55^\circ \Leftrightarrow x = 55^\circ + k180^\circ ,{\rm{ }}k\; \in \;\mathbb{Z}\,\,(TM).\)
b, Điều kiện xác định: \(2x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Ta có: \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\,\,(TM).\)
Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vector, ma trận, và các phép biến đổi hình học.
Bài tập yêu cầu học sinh xác định ma trận của phép biến hóa affine, tìm ảnh của một điểm qua phép biến hóa affine, và chứng minh một số tính chất liên quan đến phép biến hóa affine.
Để xác định ma trận của phép biến hóa affine, học sinh cần hiểu rõ công thức tổng quát của ma trận biến hóa affine. Ma trận này bao gồm một ma trận tuyến tính và một vector tịnh tiến.
Ví dụ, nếu phép biến hóa affine được định nghĩa bởi công thức f(x) = Ax + b, trong đó A là ma trận tuyến tính và b là vector tịnh tiến, thì ma trận của phép biến hóa affine là:
[A | b]
Trong đó, A là ma trận 2x2 hoặc 3x3 (tùy thuộc vào không gian làm việc), và b là vector cột có cùng số chiều với không gian làm việc.
Để tìm ảnh của một điểm x qua phép biến hóa affine f(x) = Ax + b, học sinh chỉ cần thực hiện phép nhân ma trận và cộng vector:
f(x) = Ax + b
Ví dụ, nếu A = [[1, 2], [3, 4]] và b = [5, 6], và x = [7, 8], thì:
f(x) = [[1, 2], [3, 4]] * [7, 8] + [5, 6] = [23, 34] + [5, 6] = [28, 40]
Để chứng minh các tính chất liên quan đến phép biến hóa affine, học sinh cần sử dụng các định lý và tính chất của ma trận và vector. Ví dụ, để chứng minh rằng phép biến hóa affine bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm, học sinh cần chứng minh rằng nếu ba điểm x, y, z thẳng hàng, thì ba điểm f(x), f(y), f(z) cũng thẳng hàng.
Bài toán: Cho phép biến hóa affine f(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f.
Giải:
f(1, 2) = (2*1 + 2, 1 - 2) = (4, -1)
Vậy, ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f là điểm A'(4, -1).
Phép biến hóa affine có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, như đồ họa máy tính, xử lý ảnh, và robot học. Trong đồ họa máy tính, phép biến hóa affine được sử dụng để thực hiện các phép biến đổi hình học như tịnh tiến, xoay, co giãn, và cắt.
Trong xử lý ảnh, phép biến hóa affine được sử dụng để điều chỉnh kích thước, hướng, và vị trí của ảnh. Trong robot học, phép biến hóa affine được sử dụng để mô tả vị trí và hướng của robot trong không gian.
Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản và áp dụng các công thức và định lý một cách chính xác, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và hiểu rõ hơn về ứng dụng của phép biến hóa affine trong thực tế.
