Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 24, giúp các em học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giá trị lượng giác của góc 2(alpha ), biết:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc 2\(\alpha \), biết:
a, \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
b, \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi < \alpha < 2\pi \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a, Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)
Vì \(\pi < \alpha < 2\pi \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi \Rightarrow cos\alpha = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 = 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{8}} \right)^2} - 1 = - \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ - \frac{{31}}{{32}}}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} = - \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}\)
Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Các yếu tố ảnh hưởng đến đồ thị hàm số:
(Giả sử đề bài Bài 3 là: Xác định các hệ số a, b, c của hàm số y = x2 - 4x + 3 và vẽ đồ thị của hàm số này.)
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
So sánh hàm số y = x2 - 4x + 3 với dạng tổng quát y = ax2 + bx + c, ta có:
Bước 2: Xác định tọa độ đỉnh của parabol
Tọa độ đỉnh I(x0, y0) được tính như sau:
Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là I(2, -1).
Bước 3: Xác định trục đối xứng của parabol
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x0 = 2.
Bước 4: Xác định giao điểm của parabol với trục Oy
Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm có hoành độ x = 0. Thay x = 0 vào hàm số, ta được:
y = 02 - 4*0 + 3 = 3
Vậy, giao điểm của parabol với trục Oy là A(0, 3).
Bước 5: Xác định giao điểm của parabol với trục Ox (nếu có)
Giao điểm của parabol với trục Ox là nghiệm của phương trình x2 - 4x + 3 = 0.
Giải phương trình, ta được:
Δ = (-4)2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4
x1 = (4 + √4)/(2*1) = 3
x2 = (4 - √4)/(2*1) = 1
Vậy, giao điểm của parabol với trục Ox là B(1, 0) và C(3, 0).
Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào các thông tin đã tính toán ở trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3.
Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của hàm số bậc hai trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống.
Các bài tập luyện tập gợi ý:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức này và tự tin giải các bài tập tương tự.
