Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập mục 1 trang 42, 43 tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương trình, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết và khả năng vận dụng linh hoạt vào thực tế.
a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số (y = x) tại điểm (x = {x_0}).
a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số \(y = x\) tại điểm \(x = {x_0}\).
b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số \(y = {x^2},y = {x^3}\) đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Phương pháp giải:
Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết:
a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\\{\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\\...\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hảm số \(y = {x^{10}}\) tại \(x = - 1\) và \(x = \sqrt[3]{2}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {{x^{10}}} \right)^\prime } = 10{{\rm{x}}^9}\)
Từ đó: \(y'\left( { - 1} \right) = 10.{\left( { - 1} \right)^9} = - 10\) và \(y'\left( {\sqrt[3]{2}} \right) = 10.{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^9} = 80\).
Mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo thường xoay quanh các chủ đề về giới hạn của hàm số. Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn, và các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim(x→a) f(x), là giá trị mà hàm số f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Việc hiểu rõ khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài tập về giới hạn.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu trong mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Do đó, lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim(x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4.
Lời giải: Ta có thể sử dụng giới hạn đặc biệt lim(x→0) sin(x) / x = 1. Đặt t = 3x, khi x → 0 thì t → 0. Do đó, lim(x→0) sin(3x) / x = lim(x→0) 3 * sin(3x) / (3x) = 3 * lim(t→0) sin(t) / t = 3 * 1 = 3.
Lời giải: Ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho x: lim(x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim(x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2.
Để nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập luyện tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.
Việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản, tính chất và phương pháp tính giới hạn hàm số là rất quan trọng để học tốt môn Toán 11. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập về giới hạn hàm số.
