Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.
1. Phương trình tương đương
1. Phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
- Các phép biến đổi tương đương:
+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx = m ,
Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\),
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
4. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
5. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \).
Phương trình lượng giác là phương trình có chứa hàm số lượng giác. Việc giải phương trình lượng giác đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản theo chương trình SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo.
Trước khi đi vào giải phương trình lượng giác, chúng ta cần nắm vững các hàm số lượng giác cơ bản:
Một số phương trình lượng giác cơ bản thường gặp:
a. Nghiệm của phương trình sin x = a:
Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình sin x = a có các nghiệm:
b. Nghiệm của phương trình cos x = a:
Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình cos x = a có các nghiệm:
c. Nghiệm của phương trình tan x = a:
x = arctan(a) + kπ (k ∈ Z)
d. Nghiệm của phương trình cot x = a:
x = arccot(a) + kπ (k ∈ Z)
Để giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn, chúng ta cần nhớ các công thức lượng giác sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình sin x = 1/2
Ta có: x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π (k ∈ Z)
hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
Ví dụ 2: Giải phương trình cos x = -√2/2
Ta có: x = arccos(-√2/2) + k2π = 3π/4 + k2π (k ∈ Z)
hoặc x = -arccos(-√2/2) + k2π = -3π/4 + k2π = 5π/4 + k2π (k ∈ Z)
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phương trình lượng giác theo SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
