Bài 13 trang 52 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ôn tập chương 3: Cấp số cho trước. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số, giới hạn dãy số để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Dân số \(P\) (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức \(P\left( t \right) = \frac{{500t}}{{{t^2} + 9}}\)
Đề bài
Dân số \(P\) (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức \(P\left( t \right) = \frac{{500t}}{{{t^2} + 9}}\), trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 12\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(P'\left( {12} \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}P'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {500t} \right)}^\prime }\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right){{\left( {{t^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right).2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500{t^2} + 4500 - 1000{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\end{array}\)
Tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 12\) là: \(P'\left( {12} \right) = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} \approx - 2,88\).
Bài 13 trang 52 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo là một bài tập tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân và các khái niệm liên quan đến dãy số. Dưới đây là giải chi tiết từng phần của bài tập này:
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: un = u1 + (n - 1)d, trong đó un là số hạng thứ n, u1 là số hạng đầu tiên, d là công sai.
Để giải các bài toán liên quan đến cấp số cộng, học sinh cần nắm vững các công thức tính số hạng tổng quát, tổng của n số hạng đầu tiên và các tính chất của cấp số cộng.
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi (tỉ số). Công thức tổng quát của cấp số nhân là: un = u1qn-1, trong đó un là số hạng thứ n, u1 là số hạng đầu tiên, q là tỉ số.
Tương tự như cấp số cộng, học sinh cần nắm vững các công thức tính số hạng tổng quát, tổng của n số hạng đầu tiên và các tính chất của cấp số nhân để giải các bài toán liên quan.
Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên. Giới hạn của dãy số là giá trị mà dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng.
Trong bài tập này, học sinh có thể được yêu cầu tính giới hạn của dãy số, xác định xem dãy số có hội tụ hay không, và tìm giá trị giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu tiên u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng này.
Giải: Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có: u10 = u1 + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29. Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng là 29.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = 1 và tỉ số q = 2. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
Giải: Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có: S5 = u1(q5 - 1) / (q - 1) = 1(25 - 1) / (2 - 1) = 31. Vậy tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 31.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 13 trang 52 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
