Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 57, 58, 59 sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo.

Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.

Thả một dây dọi (AO) chạm sàn nhà tại điểm (O). Kẻ một đường thẳng (xOy) bất kì trên sàn nhà.

Hoạt động 1

    Thả một dây dọi \(AO\) chạm sàn nhà tại điểm \(O\). Kẻ một đường thẳng \(xOy\) bất kì trên sàn nhà.

    a) Dùng êke để kiểm tra xem \(AO\) có vuông góc với \(xOy\) không.

    b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.

    Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

    Phương pháp giải:

    Quan sát hình ảnh, thực hành kiểm tra.

    Lời giải chi tiết:

    a) \(AO\) vuông góc với \(xOy\).

    b) Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.

    Hoạt động 2

      Cho đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau \(a\) và \(b\) trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Xét một đường thẳng \(c\) bất kì trong \(\left( P \right)\) (\(c\) không song song với \(a\) và \(b\)). Gọi \(O\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Trong \(\left( P \right)\) vẽ qua \(O\) ba đường thẳng \(a',b',c'\) lần lượt song song với \(a,b,c\). Vẽ một đường thẳng cắt \(a',b',c'\) lần lượt tại \(B,C,D\). Trên \(d\) lấy hai điểm \(E,F\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(EF\) (Hình 4).

      Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

      a) Giải thích tại sao hai tam giác \(CEB\) và \(CFB\) bằng nhau.

      b) Có nhận xét gì về tam giác \(DEF\)? Từ đó suy ra góc giữa \(d\) và \(c\).

      Phương pháp giải:

      Sử dụng tính chất trung tuyến của đoạn thẳng.

      Lời giải chi tiết:

      a) Ta có:

      \(\left. \begin{array}{l}d \bot a\\a'\parallel a\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a' \Rightarrow EF \bot OB\)

      Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) \( \Rightarrow BE = BF\)

      \(\left. \begin{array}{l}d \bot b\\b'\parallel b\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot b' \Rightarrow EF \bot OC\)

      Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) \( \Rightarrow CE = CF\)

      Xét \(\Delta CEB\) và \(\Delta CFB\) có:

      \(\left. \begin{array}{l}BE = BF\\CE = CF\\BC:chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CEB = \Delta CFB\left( {c.c.c} \right)\)

      b) \(\Delta CEB = \Delta CFB \Rightarrow DE = DF\)

      \( \Rightarrow D\) nằm trên đường trung trực của \(EF \Rightarrow OD \bot EF \Rightarrow c' \bot d\)

      Lại có \(c\parallel c'\)

      Vậy \(c \bot d \Rightarrow \left( {c,d} \right) = {90^ \circ }\).

      Hoạt động 3

        a) Trong không gian, cho điểm \(O\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(a,b\) là hai đường thẳng phân biệt đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\) (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng \(d\) và \(mp\left( {a,b} \right)\)?

        b) Trong không gian, cho điểm \(O\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\left( Q \right)\) và \(\left( R \right)\) là hai mặt phẳng đi qua \(O\) và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau \(a,b\) nằm trong \(\left( P \right)\) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và giao tuyến \(d\) của \(\left( Q \right),\left( R \right)\)?

        Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

        Phương pháp giải:

        a) Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).

        b) Sử dụng tính chất: đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì nó vuông góc với mọi đường thẳng \(a\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\).

        Lời giải chi tiết:

        a) Ta có:

        \(\left. \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot mp\left( {a,b} \right)\).

        b) Ta có:

        \(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot d\\\left. \begin{array}{l}b \bot \left( R \right)\\d \subset \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot d\end{array}\)

        Mà \(a,b\) cắt nhau nằm trong \(\left( P \right)\)

        \( \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)

        Thực hành 1

          Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H,I,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên các cạnh \(SB,SC,SD\). Chứng minh rằng:

          a) \(CB \bot \left( {SAB} \right)\) và \(CD \bot \left( {SAD} \right)\);

          b) \(HK \bot AI\).

          Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

          Phương pháp giải:

          ‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

          ‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

          Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng \({90^ \circ }\).

          Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

          Lời giải chi tiết:

          a) Ta có:

          \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot CB\)

          \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AB \bot CB\)

          \( \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\)

          \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot CD\)

          \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AD \bot CD\)

          \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)

          b) Ta có:

          \(\left. \begin{array}{l}CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CB \bot AH\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)

          \(\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\AK \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow AK \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AK \bot SC\)

          \( \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\)

          \(\begin{array}{l}\Delta SAB = \Delta SA{\rm{D}}\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SH = SK,SB = S{\rm{D}}\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{S{\rm{D}}}} \Rightarrow HK\parallel B{\rm{D}}\\SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot HK\end{array}\)

          \(\left. \begin{array}{l}SC \bot HK\\SA \bot HK\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot AI\)

          Vận dụng 1

            Làm thể nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

            Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

            Phương pháp giải:

            Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).

            Lời giải chi tiết:

            Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.

            Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

            Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và Phương pháp giải

            Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng.

            Các kiến thức trọng tâm trong mục 1

            • Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0.
            • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm f'(x0) biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x0.
            • Quy tắc tính đạo hàm: Các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp giúp đơn giản hóa việc tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
            • Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Nắm vững đạo hàm của các hàm số thường gặp như hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.

            Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trang 57, 58, 59

            Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo:

            Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

            a) f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 1

            Giải:

            f'(x) = 3x2 - 4x + 5

            b) f(x) = sin(x) + cos(x)

            Giải:

            f'(x) = cos(x) - sin(x)

            Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)(x - 2)

            Giải:

            Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có:

            y' = (2x)(x - 2) + (x2 + 1)(1) = 2x2 - 4x + x2 + 1 = 3x2 - 4x + 1

            Bài 3: Cho hàm số f(x) = x2. Tính f'(2)

            Giải:

            f'(x) = 2x

            f'(2) = 2 * 2 = 4

            Mẹo giải nhanh các bài tập về đạo hàm

            • Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản: Việc thuộc lòng các công thức đạo hàm cơ bản sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và tránh sai sót.
            • Sử dụng quy tắc đạo hàm một cách linh hoạt: Áp dụng đúng quy tắc đạo hàm cho từng bài toán cụ thể.
            • Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các giá trị cụ thể vào hàm số và đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.

            Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

            Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

            • Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, lực và các đại lượng vật lý khác.
            • Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên.
            • Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển, tối ưu hóa các quy trình sản xuất.

            Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về đạo hàm và nắm vững kiến thức Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!

            Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11