Bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời ság tạo, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại hàm số, tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) ({sin ^4}alpha - {cos ^4}alpha
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \)
b) \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào các hệ thức cơ bản của lượng giác để chứng minh
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha - 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng.
Bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 5 yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến việc xác định tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị của hàm số và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, bài tập có thể bao gồm các dạng sau:
Xác định khoảng đơn điệu của hàm số: Học sinh cần sử dụng đạo hàm để xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định của hàm số, từ đó kết luận khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm cực trị của hàm số: Học sinh cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, sau đó kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định điểm cực đại, cực tiểu.
Vẽ đồ thị hàm số: Học sinh cần xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số như giao điểm với các trục tọa độ, cực trị, điểm uốn, và vẽ đồ thị dựa trên các thông tin này.
Để giải bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi đối số tiến tới điểm đó.
Quy tắc tính đạo hàm: Học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu: Hàm số đơn điệu trên một khoảng nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên khoảng đó.
Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Hàm số có cực trị tại một điểm nếu đạo hàm của nó bằng 0 hoặc không tồn tại tại điểm đó.
Dưới đây là ví dụ về lời giải chi tiết cho một bài tập cụ thể trong bài 5:
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xác định khoảng đơn điệu:
Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến.
Kết luận: Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Để hiểu rõ hơn về bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo, học sinh nên tham khảo thêm các tài liệu học tập khác, làm thêm các bài tập tương tự và trao đổi với bạn bè, giáo viên.
Việc giải bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đạo hàm mà còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, tư duy logic và khả năng ứng dụng kiến thức vào thực tế. Những kiến thức này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các môn học khác và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
