Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng
Đề bài
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng là \(C\left( x \right) = \sqrt {5{x^2} + 60} \) và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong \(t\) tháng kể từ nay theo hàm số \(x\left( t \right) = 20t + 40\). Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(C'\left( t \right)\) với \(t = 4\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(C'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {5{x^2} + 60} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {5{x^2} + 60} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {5{x^2} + 60} }} = \frac{{10{\rm{x}}}}{{2\sqrt {5{x^2} + 60} }} = \frac{{5{\rm{x}}}}{{\sqrt {5{x^2} + 60} }}\)
\(x'\left( t \right) = {\left( {20t + 40} \right)^\prime } = 20\)
\( \Rightarrow C'\left( t \right) = C'\left( x \right).x'\left( t \right) = \frac{{5{\rm{x}}}}{{\sqrt {5{x^2} + 60} }}.20 = \frac{{100\left( {20t + 40} \right)}}{{\sqrt {5{{\left( {20t + 40} \right)}^2} + 60} }}\)
Tốc độ tăng chi phí sau 4 tháng là: \(C'\left( 4 \right) = \frac{{100\left( {20.4 + 40} \right)}}{{\sqrt {5{{\left( {20.4 + 40} \right)}^2} + 60} }} \approx 44,7\)
Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đạo hàm, tìm cực trị và khảo sát hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Để tính đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa:
y' = 3x2 - 6x + 2
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích:
y' = 2x(x - 2) + (x2 + 1)(1) = 2x2 - 4x + x2 + 1 = 3x2 - 4x + 1
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
y' =
Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
y' = 3x2 - 6x + 2
3x2 - 6x + 2 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm x1 và x2.
y'' = 6x - 6
Nếu y''(x1) > 0 thì x1 là điểm cực tiểu.
Nếu y''(x2) < 0 thì x2 là điểm cực đại.
Để khảo sát hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Tập xác định của hàm số là R.
y' = 4x3 - 8x = 4x(x2 - 2)
Các điểm dừng là x = 0, x = √2, x = -√2.
y'' = 12x2 - 8
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
Các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo để rèn luyện kỹ năng giải toán.
