Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúng tôi sẽ trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất và các công thức liên quan, từ đó có thể áp dụng giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý:
a) Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).
b) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = {0^0}\).
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\), kí hiệu \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\).
Hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
b) Góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\) còn được kí hiệu là \(\left[ {M,d,N} \right]\) với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \(\widehat {uOv}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({180^0}\).
Trong hình học không gian, việc hiểu rõ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như góc nhị diện là vô cùng quan trọng. Đây là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, cung cấp các định nghĩa, tính chất, công thức và ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức này.
1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.
2. Cách xác định góc: Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thực hiện các bước sau:
3. Công thức tính góc: Nếu d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 0°. Nếu d nằm trong mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 0°.
1. Định nghĩa: Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Đường thẳng chung đó gọi là cạnh của góc nhị diện, còn hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của góc nhị diện.
2. Cách đo góc nhị diện: Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau.
3. Góc nhị diện bằng 90°: Hai mặt phẳng cắt nhau và tạo thành góc nhị diện bằng 90° được gọi là hai mặt phẳng vuông góc.
1. Định lý về đường vuông góc: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
2. Tính chất đối xứng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không đổi khi ta quay đường thẳng quanh điểm thuộc mặt phẳng.
3. Mối quan hệ giữa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc nhị diện: Trong một số trường hợp, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể được tính thông qua góc nhị diện.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90°.
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau tại đường thẳng d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B sao cho AB vuông góc với d. Tính góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải: Góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng AB và d. Để tính góc này, cần thêm thông tin về vị trí của điểm A và B.
Lý thuyết về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong việc tính khoảng cách, góc và các yếu tố hình học khác. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Để củng cố kiến thức, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi giải các bài toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
