Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 tại giaitoan.edu.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 9, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn ở cấp học THPT.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cách hệ thống và dễ hiểu về định nghĩa, điều kiện xác định, các tính chất cơ bản và ứng dụng của căn thức bậc hai.
1. Căn thức bậc hai Khái niệm căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
1. Căn thức bậc hai
Khái niệm căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn. |
Ví dụ: \(\sqrt {2x - 1} \), \(\sqrt { - \frac{1}{3}x + 2} \) là các căn thức bậc hai.
Lưu ý:
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
Ví dụ: Căn thức \(\sqrt {2x + 1} \) xác định khi \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge - \frac{1}{2}\).
2. Căn thức bậc hai của một bình phương
Với mọi biểu thức đại số, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\). |
Ví dụ: Với \(x < 0\), ta có 1 – x > 0. Do đó \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = 1 - x\).
3. Căn thức bậc hai của một tích
Với hai biểu thức A và B không âm, ta có \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \). |
Lưu ý:
- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.
Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: \(\sqrt {A.B.C} = \sqrt A .\sqrt B .\sqrt C \)
- Với biểu thức A không âm, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = {\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\).
Ví dụ: Với \(a \ge 0,b < 0\) thì \(\sqrt {25{a^2}{b^2}} = \sqrt {{5^2}.{a^2}.{{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2}} .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2}} = 5.a.\left( { - b} \right) = - 5ab\).
4. Căn thức bậc hai của một thương
Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\). |
Ví dụ: \(\sqrt {\frac{{49}}{{64}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{7}{8}\);
\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);
\(\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{8}{2}} = \sqrt 4 = 2\);
Với \(a > 0\) thì \(\frac{{\sqrt {52{a^3}} }}{{\sqrt {13a} }} = \sqrt {\frac{{52{a^3}}}{{13a}}} = \sqrt {4{a^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\).
5. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có: \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\frac{C}{{\sqrt A - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\). |
Ví dụ:
\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);
\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).
Căn thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong đại số, đặc biệt là ở chương trình Toán 9. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Căn bậc hai của một số a (với a ≥ 0) là số x sao cho x2 = a. Ký hiệu: √a.
Căn bậc hai của một biểu thức chỉ xác định khi biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng 0. Ví dụ:
Việc biến đổi đơn giản căn thức bậc hai giúp ta đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất, dễ dàng tính toán và so sánh hơn. Các phương pháp thường dùng:
Để so sánh hai căn bậc hai, ta có thể:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức √(16*9). Ta có: √(16*9) = √16 * √9 = 4 * 3 = 12
Ví dụ 2: Đưa thừa số 2 vào trong dấu căn √5. Ta có: √5 = √(22 * 5) = √(4*5) = √20
Căn thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết căn thức bậc hai, bạn hãy thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết căn thức bậc hai Toán 9 là một phần kiến thức quan trọng, cần được nắm vững để học tốt môn Toán và áp dụng vào thực tế. Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về chủ đề này. Chúc bạn học tập tốt!
