Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong chương trình Toán 9 tại giaitoan.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về các tỉ số lượng giác, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các công thức tính toán và ứng dụng thực tế của sin, cosin, tang và cotang trong tam giác vuông.
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \). |
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotang kết đoàn |
Lưu ý:
1. Trong một tam giác vuông, độ dài các cạnh luôn là số dương và cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền. Do đó sin và côsin của một góc nhọn luôn dương và nhỏ hơn 1.
\(\alpha < {90^0}:0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\).
2. Khi ghi các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta viết \(\sin A\) thay vì \(\sin \widehat A\).
3. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\).
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
2. Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc \({30^0},{45^0},{60^0}\)
\(\alpha \) | \({30^0}\) | \({45^0}\) | \({60^0}\) |
\(\sin \alpha \) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) |
\(\cos \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
\(\tan \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt 3 \) |
\(\cot \alpha \) | \(\sqrt 3 \) | \(1\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) |
3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtang góc kia. \(\begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cot \alpha = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha .} \right)\end{array}\) |
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau, ta có:
\(\sin \alpha = \cos \beta \), \(\cos \alpha = \sin \beta \), \(\tan \alpha = \cot \beta \), \(\cot \alpha = \tan \beta \).
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
4. Tính các tỉ số lượng giác của một góc khi biết số đo góc và tính số đo góc khi biết tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay.
a) Tính tỉ số lượng giác khi biết số đo góc
Ngoài đơn vị độ, người ta còn dùng đơn vị phút (‘) và giây (“) để đo góc chính xác hơn với \({1^0} = 60';1' = 60''\).
Để tính các tỉ số lượng giác sin, côsin và tang của một góc, ta sử dụng các phím
Để tính giá trị côtang của một góc \(\alpha \), ta tính tang của \({90^0} - \alpha \) hoặc tính giá trị \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).
b) Tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác
Khi biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính số đo của góc nhọn đó. Để tìm góc nhọn \(\alpha \), ta bấm:
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, phần lý thuyết về các tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò vô cùng quan trọng. Nó là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và là bước đệm cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Góc B và góc C là các góc nhọn. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn B được định nghĩa như sau:
Tương tự, các tỉ số lượng giác của góc nhọn C được định nghĩa:
Các tỉ số lượng giác có mối quan hệ mật thiết với nhau. Một số mối quan hệ quan trọng cần nhớ:
Việc nắm vững bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt (0o, 30o, 45o, 60o, 90o) sẽ giúp bạn giải quyết bài tập nhanh chóng và chính xác hơn.
| Góc (o) | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | ∞ |
| 30 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90 | 1 | 0 | ∞ | 0 |
Các tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, đặc biệt là trong:
Để nắm vững lý thuyết, bạn cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Khi học về các tỉ số lượng giác, bạn cần lưu ý một số điều sau:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết các tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
