Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Căn bậc hai của một số thực không âm Toán 9 trên giaitoan.edu.vn. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài học tiếp theo.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những khái niệm, định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế của căn bậc hai, giúp bạn hiểu rõ và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
1. Khái niệm về căn bậc hai của số thực không âm Định nghĩa căn bậc hai Căn bậc hai của một số thực a không âm là số x sao cho . Lưu ý:
1. Khái niệm về căn bậc hai của số thực không âm
Định nghĩa căn bậc hai
Căn bậc hai của một số thực a không âm là số x sao cho \({x^2} = a\). |
Lưu ý:
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, trong đó số dương là \(\sqrt a \) và số âm là \( - \sqrt a \).
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết \(\sqrt 0 = 0\).
- Với hai số a và b không âm, nếu \(a < b\) thì \(\sqrt a < \sqrt b \).
Ví dụ:
+) \(\sqrt {81} = 9\) nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.
+) Căn bậc hai số học của 121 là \(\sqrt {121} = 11\).
2. Tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số hữu tỉ bằng máy tính cầm tay
Để tính các căn bậc hai của một số \(a > 0\), chỉ cần tính \(\sqrt a \). Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT.
Sử dụng nút này để bấm căn bậc hai. |
Ví dụ:
3. Căn bậc hai của một bình phương
Với mọi số thực a, ta có: \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|\). Như vậy: \(\sqrt {{a^2}} = a\) nếu \(a \ge 0\); \(\sqrt {{a^2}} = - a\) nếu \(a < 0\). |
Ví dụ: \(\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {1 + \sqrt 2 } \right| = 1 + \sqrt 2 \); \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} = \left| { - 3} \right| = 3\).
4. Căn bậc hai của một tích
Nếu a và b là hai số không âm thì \(\sqrt {a.b} = \sqrt a .\sqrt b \). |
Ví dụ:
\(\sqrt {81.49} = \sqrt {81} .\sqrt {49} = 9.7 = 63\);
\(\sqrt {1,3} .\sqrt {10} .\sqrt {13} = \sqrt {1,3.10.13} = \sqrt {13.13} = \sqrt {{{13}^2}} = 13\).
Lưu ý: Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. Chẳng hạn với a, b, c là ba số không âm, ta có \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c \).
5. Căn bậc hai của một thương
Nếu a là số không âm và b là số dương thì \(\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\). |
Ví dụ:
\(\sqrt {\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {25} }} = \frac{2}{5}\);
\(\frac{{\sqrt {216} }}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{{216}}{6}} = \sqrt {36} = 6\).6. Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn bậc hai
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) thì \(\sqrt {{a^2}b} = a\sqrt b \). Nếu \(a < 0\) và \(b \ge 0\) thì \(\sqrt {{a^2}b} = - a\sqrt b \). |
Ví dụ:
\(\sqrt {{7^2}.2} = 7\sqrt 2 \);
\(\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}.3} = \left| { - 11} \right|.\sqrt 3 = 11\sqrt 3 \).
Đưa thừa số vào trong dấu căn
Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) thì \(a\sqrt b = \sqrt {{a^2}b} \). Nếu \(a < 0\) và \(b \ge 0\) thì \(a\sqrt b = - \sqrt {{a^2}b} \). |
Ví dụ:
\(2\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {{2^2}.\frac{1}{2}} = \sqrt 2 \);
\(4\sqrt {\frac{7}{4}} - \sqrt {28} = \sqrt {{4^2}.\frac{7}{4}} - \sqrt {28} = \sqrt {4.7} - \sqrt {28} = \sqrt {28} - \sqrt {28} = 0\).
Căn bậc hai của một số thực không âm là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 9. Hiểu rõ lý thuyết này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến số thực và các ứng dụng thực tế.
Với số thực a không âm (a ≥ 0), căn bậc hai của a là số x sao cho x2 = a.
Ký hiệu: √a
Ví dụ: √9 = 3 vì 32 = 9.
Căn bậc hai của một số thực chỉ xác định khi số đó không âm. Nói cách khác, biểu thức √a chỉ có nghĩa khi a ≥ 0.
Ví dụ: √(-4) không xác định trong tập số thực.
Để so sánh hai căn bậc hai, ta có thể so sánh các số bên trong căn. Nếu a < b và a ≥ 0, b ≥ 0 thì √a < √b.
Ví dụ: √2 < √3 vì 2 < 3.
Có nhiều phương pháp để biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai, bao gồm:
Ví dụ 1: Tính √(16*25)
Giải: √(16*25) = √16 * √25 = 4 * 5 = 20
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức √(7 - 4√3)
Giải: √(7 - 4√3) = √(4 - 4√3 + 3) = √(22 - 2*2*√3 + (√3)2) = √(2 - √3)2 = |2 - √3| = 2 - √3
Căn bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết căn bậc hai, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Căn bậc hai của một số thực không âm Toán 9. Chúc bạn học tập tốt!
