Bài 1.10 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các định lý về giới hạn lượng giác cơ bản và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.10 trang 15, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Khi một quả bóng được đá lên không trung từ mặt đất, khoảng cách x từ quả bóng đó đến đường thẳng vuông góc với mặt đất tại vị trí đá liên hệ với chiều cao y của nó theo công thức:
Đề bài
Bài 1.10 trang 15
Khi một quả bóng được đá lên không trung từ mặt đất, khoảng cách x từ quả bóng đó đến đường thẳng vuông góc với mặt đất tại vị trí đá liên hệ với chiều cao y của nó theo công thức: \(y = \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{x\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\), trong đó \({v_0}\) là vận tốc ban đầu của quả bóng, \(\alpha \) là góc đá quả bóng so với phương nằm ngang và g là gia tốc trọng trường (nguồn: https://pressbooks.uiowa.edu/clonedbook/chapter/projectile-motion/). Chứng minh rằng: \(y = - \frac{{g{x^2}}}{{2v_0^2}}{\tan ^2}\alpha + x\tan \alpha - \frac{{g{x^2}}}{{2v_0^2}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}y = \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{x\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + x.\tan \alpha \\ = \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2}}.\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + x.\tan \alpha \\ = \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2}}{\tan ^2}\alpha + x.\tan \alpha - \frac{{ - g{x^2}}}{{2v_0^2}}\end{array}\)
Bài 1.10 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu tính các giới hạn sau:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản sau:
Để tính giới hạn này, ta biến đổi biểu thức như sau:
lim (x→0) (sin 2x) / x = lim (x→0) 2 * (sin 2x) / (2x) = 2 * lim (x→0) (sin 2x) / (2x)
Đặt t = 2x, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:
2 * lim (t→0) (sin t) / t = 2 * 1 = 2
Sử dụng trực tiếp giới hạn lượng giác cơ bản:
lim (x→0) (tan x) / x = 1
Tương tự như câu a, ta biến đổi:
lim (x→0) (sin 3x) / x = lim (x→0) 3 * (sin 3x) / (3x) = 3 * lim (x→0) (sin 3x) / (3x)
Đặt t = 3x, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:
3 * lim (t→0) (sin t) / t = 3 * 1 = 3
Sử dụng trực tiếp giới hạn lượng giác cơ bản:
lim (x→0) (1 - cos x) / x² = 1/2
Khi giải các bài toán về giới hạn lượng giác, việc nắm vững các giới hạn cơ bản là vô cùng quan trọng. Ngoài ra, cần chú ý đến việc biến đổi biểu thức một cách hợp lý để đưa về dạng giới hạn quen thuộc. Việc sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất của giới hạn cũng rất cần thiết.
Giới hạn lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, đặc biệt là trong việc tính đạo hàm, tích phân và giải các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác. Việc hiểu rõ về giới hạn lượng giác sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức toán học ở các lớp học cao hơn.
Để củng cố kiến thức về giới hạn lượng giác, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 1.10 trang 15 SGK Toán 11 tập 1. Chúc bạn học tốt!
