Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán cụ thể. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và biết cách xác định ma trận của phép biến hóa affine.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = 3 - \frac{2}{n};\)
b) \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}};\)
c) \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}};\)
d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.n!.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy số tăng.
Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{2}{{n + 1}} - 3 + \frac{2}{n} = 2\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} - 1 - \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^n}}}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = - \frac{1}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n + 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}} = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{1}{{2n + 1}} - \frac{1}{{2n - 1}}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
d)
\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right).n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = - \left( {n + 1} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh xác định và chứng minh một phép biến hóa là phép biến hóa affine. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép biến hóa affine và các tính chất liên quan.
Một phép biến hóa f: (P) → (P) được gọi là phép biến hóa affine nếu nó bảo toàn thẳng và bảo toàn tỉ số. Điều này có nghĩa là:
Một phép biến hóa affine có thể được biểu diễn bằng công thức:
f(M) = aM + b
Trong đó:
Đề bài: Cho phép biến hóa f: (P) → (P) xác định bởi f(M) = 2M + (1; -2). Chứng minh rằng f là một phép biến hóa affine.
Lời giải:
Để chứng minh f là một phép biến hóa affine, ta cần chứng minh f bảo toàn thẳng và bảo toàn tỉ số.
Giả sử d là một đường thẳng bất kỳ trên (P). Một điểm bất kỳ trên d có thể được biểu diễn dưới dạng M = A + t\vec{u}, với A là một điểm cố định trên d, t là một tham số thực và \vec{u} là một vector chỉ phương của d.
Khi đó, ảnh của M qua phép biến hóa f là:
f(M) = 2(A + t\vec{u}) + (1; -2) = 2A + 2t\vec{u} + (1; -2) = (2A + (1; -2)) + t(2\vec{u})
Gọi A' = 2A + (1; -2) và \vec{v} = 2\vec{u}. Khi đó, f(M) = A' + t\vec{v}. Điều này chứng tỏ rằng ảnh f(M) nằm trên đường thẳng đi qua A' và có vector chỉ phương \vec{v}. Do đó, f bảo toàn thẳng.
Giả sử A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng trên (P). Khi đó, tồn tại một số thực k sao cho \vec{AB} = k\vec{AC}.
Ta có:
\vec{A'B'} = f(\vec{AB}) = f(B - A) = 2(B - A) = 2\vec{AB}
\vec{A'C'} = f(\vec{AC}) = f(C - A) = 2(C - A) = 2\vec{AC}
Do đó, \vec{A'B'} = 2\vec{AB} = 2k\vec{AC} = k(2\vec{AC}) = k\vec{A'C'}. Điều này chứng tỏ rằng \frac{{A'B'}}{{A'C'}} = k = \frac{{AB}}{{AC}}. Vậy f bảo toàn tỉ số.
Kết luận: Vì f bảo toàn thẳng và bảo toàn tỉ số, nên f là một phép biến hóa affine.
Để nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Giaitoan.edu.vn cung cấp đầy đủ lời giải chi tiết cho các bài tập Toán 11, giúp bạn học tập hiệu quả.
Bài 2.18 trang 56 SGK Toán 11 tập 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm ảnh của A và B qua phép biến hóa affine f(M) = 2M + (1; -2).
Lời giải:
f(A) = 2A + (1; -2) = 2(1; 2) + (1; -2) = (2; 4) + (1; -2) = (3; 2)
f(B) = 2B + (1; -2) = 2(3; 4) + (1; -2) = (6; 8) + (1; -2) = (7; 6)
Vậy ảnh của A là A'(3; 2) và ảnh của B là B'(7; 6).
