Bài 3.23 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.23 trang 81 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và phương pháp

Bài 3.23 yêu cầu giải phương trình lượng giác sau: sin(x + π/3) = -√3/2. Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và các phép biến đổi lượng giác.

Phương pháp giải

1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác cơ bản: Phương trình sin(α) = -√3/2 có nghiệm tổng quát là α = -π/3 + k2π hoặc α = 4π/3 + k2π, với k là số nguyên.
2. Thay α = x + π/3 vào nghiệm tổng quát: Ta có hai trường hợp:
• Trường hợp 1: x + π/3 = -π/3 + k2π => x = -2π/3 + k2π
• Trường hợp 2: x + π/3 = 4π/3 + k2π => x = π + k2π
3. Kết luận: Vậy phương trình sin(x + π/3) = -√3/2 có nghiệm là x = -2π/3 + k2π và x = π + k2π, với k là số nguyên.

Giải thích chi tiết từng bước

Bước 1: Xác định phương trình lượng giác cơ bản cần giải. Trong trường hợp này, chúng ta cần giải phương trình sin(α) = -√3/2. Việc nhận biết được phương trình này là cơ bản giúp chúng ta áp dụng đúng công thức nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác cơ bản. Nghiệm của phương trình sin(α) = -√3/2 được xác định dựa trên đường tròn lượng giác. Các góc mà sin bằng -√3/2 là -π/3 và 4π/3. Do đó, nghiệm tổng quát là α = -π/3 + k2π hoặc α = 4π/3 + k2π.

Bước 3: Thay thế α bằng biểu thức đã cho trong phương trình ban đầu. Trong bài toán này, α = x + π/3. Việc thay thế này giúp chúng ta chuyển đổi phương trình về dạng phương trình chỉ chứa x.

Bước 4: Giải phương trình mới để tìm ra nghiệm của x. Việc giải phương trình này tương đối đơn giản, chỉ cần thực hiện các phép biến đổi đại số cơ bản.

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. Nghiệm của phương trình ban đầu là các giá trị của x mà chúng ta vừa tìm được.

Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải, chúng ta hãy xét một ví dụ cụ thể. Giả sử k = 0, ta có:

• x = -2π/3 + 0*2π = -2π/3
• x = π + 0*2π = π

Vậy, hai nghiệm đầu tiên của phương trình là x = -2π/3 và x = π.

Lưu ý quan trọng

Khi giải phương trình lượng giác, cần lưu ý các điểm sau:

• Kiểm tra kỹ các bước biến đổi để tránh sai sót.
• Sử dụng đúng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
• Biết cách xác định nghiệm tổng quát của phương trình.
• Kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo chúng thỏa mãn phương trình ban đầu.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

• Giải phương trình cos(x - π/4) = √2/2
• Giải phương trình tan(2x + π/6) = 1

Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải phương trình lượng giác.

Ứng dụng của phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Trong vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Trong kỹ thuật: Tính toán các thông số của mạch điện xoay chiều.
• Trong thiên văn học: Xác định vị trí của các thiên thể.

Do đó, việc nắm vững kiến thức về phương trình lượng giác là rất quan trọng.