Bài 4.35 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 4.35 trang 125 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4.35 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:

1. sin(2x) = cosx

2. cos(2x) = sinx

3. tan(2x) = cotx

4. cot(2x) = tanx

Hướng dẫn giải chi tiết:

Để giải các phương trình lượng giác này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình lượng giác đã học. Cụ thể:

• Công thức biến đổi góc: sin(2x) = 2sinxcosx, cos(2x) = cos²x - sin²x, tan(2x) = (2tanx)/(1-tan²x), cot(2x) = (cot²x - 1)/(2cotx)
• Phương pháp đặt ẩn phụ: Đôi khi, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình và dễ dàng giải hơn.
• Phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là một công cụ hữu ích để tìm các nghiệm của phương trình lượng giác.

Giải chi tiết từng phương trình:

1. Giải phương trình sin(2x) = cosx

Sử dụng công thức sin(2x) = 2sinxcosx, ta có:

2sinxcosx = cosx

⇔ 2sinxcosx - cosx = 0

⇔ cosx(2sinx - 1) = 0

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z
• Trường hợp 2: 2sinx - 1 = 0 ⇔ sinx = 1/2 ⇔ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π, k ∈ Z

2. Giải phương trình cos(2x) = sinx

Sử dụng công thức cos(2x) = 1 - 2sin²x, ta có:

1 - 2sin²x = sinx

⇔ 2sin²x + sinx - 1 = 0

Đặt t = sinx, ta có phương trình: 2t² + t - 1 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta được t = 1/2 hoặc t = -1

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: sinx = 1/2 ⇔ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
• Trường hợp 2: sinx = -1 ⇔ x = 3π/2 + k2π, k ∈ Z

3. Giải phương trình tan(2x) = cotx

Sử dụng công thức tan(2x) = (2tanx)/(1-tan²x) và cotx = 1/tanx, ta có:

(2tanx)/(1-tan²x) = 1/tanx

⇔ 2tan²x = 1 - tan²x

⇔ 3tan²x = 1

⇔ tan²x = 1/3

⇔ tanx = ±1/√3

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: tanx = 1/√3 ⇔ x = π/6 + kπ, k ∈ Z
• Trường hợp 2: tanx = -1/√3 ⇔ x = -π/6 + kπ, k ∈ Z

4. Giải phương trình cot(2x) = tanx

Sử dụng công thức cot(2x) = (cot²x - 1)/(2cotx) và tanx = 1/cotx, ta có:

(cot²x - 1)/(2cotx) = 1/cotx

⇔ cot²x - 1 = 2

⇔ cot²x = 3

⇔ cotx = ±√3

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: cotx = √3 ⇔ x = π/6 + kπ, k ∈ Z
• Trường hợp 2: cotx = -√3 ⇔ x = 5π/6 + kπ, k ∈ Z

Kết luận: Bài 4.35 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình là rất cần thiết để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.