Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng các dãy số (un) cho bởi các công thức sau đây bị chặn:
Đề bài
Chứng minh rằng các dãy số (un) cho bởi các công thức sau đây bị chặn:
a) \({u_n} = 2 + \frac{1}{n};\)
b) \({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}};\)
c) \({u_n} = \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn khi \(m \le {u_n} \le M\forall n\) nguyên dương.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_n} = 2 + \frac{1}{n}\\n \ge 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{n} \le 1 \Leftrightarrow 2 < 2 + \frac{1}{n} \le 3\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
b)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow n\left( {n + 1} \right) \ge 2\\ \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} \le \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
c)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right)\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( n \right) \le 1\\ - 1 \le \cos \left( n \right) \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow - 2 \le \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right) \le 2\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
Để giải các phương trình này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về:
Ta có sin(x - π/6) = sin(-π/3). Do đó:
x - π/6 = -π/3 + k2π hoặc x - π/6 = π - (-π/3) + k2π
Giải hai phương trình trên, ta được:
Vậy nghiệm của phương trình là x = -π/6 + k2π và x = 2π/3 + k2π, với k ∈ Z.
Ta có cos(2x + π/3) = cos(π/2). Do đó:
2x + π/3 = π/2 + kπ
Giải phương trình trên, ta được:
2x = π/2 - π/3 + kπ = π/6 + kπ
x = π/12 + kπ/2
Vậy nghiệm của phương trình là x = π/12 + kπ/2, với k ∈ Z.
Ta có tan(x + π/4) = tan(π/4). Do đó:
x + π/4 = π/4 + kπ
Giải phương trình trên, ta được:
x = kπ
Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, với k ∈ Z.
Ta có cot(3x - π/2) = cot(3π/4). Do đó:
3x - π/2 = 3π/4 + kπ
Giải phương trình trên, ta được:
3x = 3π/4 + π/2 + kπ = 5π/4 + kπ
x = 5π/12 + kπ/3
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5π/12 + kπ/3, với k ∈ Z.
Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác, cần kiểm tra lại các nghiệm để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức và kỹ năng giải phương trình lượng giác là rất cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 11.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 và các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tốt!
