Bài 6.30 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Bài 6.30 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Bài toán thường được đặt trong bối cảnh kinh tế, kỹ thuật hoặc các tình huống thực tế khác, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm ra giá trị tối ưu.

Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số: Xác định hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Hàm số này thường là một hàm số của một hoặc nhiều biến.
2. Tìm tập xác định của hàm số: Xác định tập xác định của hàm số, tức là tập hợp các giá trị của biến mà hàm số có nghĩa.
3. Tính đạo hàm của hàm số: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.
4. Tìm điểm dừng của hàm số: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
5. Xác định loại điểm dừng: Sử dụng đạo hàm bậc hai hoặc các phương pháp khác để xác định loại điểm dừng (điểm cực đại, điểm cực tiểu hoặc điểm uốn).
6. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số: Dựa vào loại điểm dừng và giá trị của hàm số tại các điểm biên của tập xác định, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.

Ví dụ minh họa:

Giả sử một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10.000 đồng, và giá bán mỗi sản phẩm là 20.000 đồng. Công ty muốn tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận. Gọi x là số lượng sản phẩm sản xuất.

Hàm lợi nhuận P(x) được tính như sau:

P(x) = 20.000x - 10.000x = 10.000x

Tuy nhiên, trong thực tế, chi phí sản xuất có thể tăng lên khi sản lượng tăng. Giả sử chi phí sản xuất mỗi sản phẩm tăng lên 1.000 đồng khi sản lượng vượt quá 100 sản phẩm. Khi đó, hàm lợi nhuận sẽ trở thành:

P(x) = { 10.000x, nếu x ≤ 1009.000x, nếu x > 100 }

Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x ≤ 100
Trong trường hợp này, P(x) = 10.000x là một hàm số tuyến tính tăng. Do đó, lợi nhuận sẽ đạt giá trị lớn nhất khi x = 100.
• Trường hợp 2: x > 100
Trong trường hợp này, P(x) = 9.000x là một hàm số tuyến tính tăng. Do đó, lợi nhuận sẽ tăng khi x tăng. Tuy nhiên, cần xem xét các yếu tố khác như giới hạn về nguồn lực hoặc nhu cầu thị trường để xác định số lượng sản phẩm tối ưu.

Lưu ý:

• Khi giải bài toán tối ưu hóa, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điều kiện ràng buộc.
• Đạo hàm bậc hai có thể giúp xác định loại điểm dừng (điểm cực đại, điểm cực tiểu hoặc điểm uốn).
• Trong một số trường hợp, bài toán tối ưu hóa có thể không có nghiệm duy nhất.

Các bài tập tương tự:

Để rèn luyện kỹ năng giải bài toán tối ưu hóa, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Một số bài tập gợi ý:

• Bài 6.31 trang 31 SGK Toán 11 tập 2
• Bài 6.32 trang 32 SGK Toán 11 tập 2

Kết luận:

Bài 6.30 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải các bài tập tương tự và áp dụng kiến thức vào các lĩnh vực khác.