Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình SGK Toán 11. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, các tính chất, công thức và ứng dụng của cấp số cộng trong giải toán.
1. Cấp số cộng
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét:
- Nếu công sai d = 0 thì mọi số hạng của cấp số cộng đều bằng nhau. Khi đó, cấp số cộng là một dãy số không đổi.
- Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
II. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
III. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một dãy số trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:
Số u1 được gọi là số hạng đầu của cấp số cộng.
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
un = u1 + (n - 1)d
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:
Sn = (n/2)(u1 + un) = (n/2)[2u1 + (n - 1)d]
Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Giải:
Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức về cấp số cộng, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
| Bài tập | Đáp án |
|---|---|
| Tìm công sai của cấp số cộng có u1 = 1 và u5 = 13. | d = 3 |
| Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u1 = -2 và d = 4. | u10 = 34 |
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
