Bài 2.16 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học về công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình lượng giác để tìm ra nghiệm của phương trình.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập này một cách nhanh chóng, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}}\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}}\)
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1,2,3,4,5\) vào công thức tổng quát.
b) Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy số tăng.
Dãy số tăng và bị chặn trên \(\left( {{u_n} \le M\forall n} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lời giải chi tiết
a) \({u_1} = \frac{{3.1 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3};{u_2} = \frac{{3.2 - 1}}{{2 + 2}} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{{3.3 - 1}}{{3 + 2}} = \frac{8}{5};{u_4} = \frac{{3.4 - 1}}{{4 + 2}} = \frac{{11}}{6};{u_5} = \frac{{3.5 - 1}}{{5 + 2}} = 2\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}} = 3 - \frac{7}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{7}{{n + 3}} - 3 + \frac{7}{{n + 2}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Ta có: \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{7}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 3 - \frac{7}{{n + 2}} < 3 \Rightarrow {u_n} < 3\)
Dãy số vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên thì bị chặn.
Bài 2.16 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải phương trình lượng giác. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về:
Đề bài: (Giả sử đề bài là: Giải phương trình cos2x - sinx = 0)
Ta có phương trình: cos2x - sinx = 0
Sử dụng công thức cos2x = 1 - 2sin2x, ta được:
1 - 2sin2x - sinx = 0
Đổi dấu và sắp xếp lại, ta có:
2sin2x + sinx - 1 = 0
Đặt t = sinx, phương trình trở thành:
2t2 + t - 1 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
t1 = 1/2 và t2 = -1
Với t = sinx = 1/2, ta có:
x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
Với t = sinx = -1, ta có:
x = -π/2 + k2π (k ∈ Z)
Vậy, nghiệm của phương trình là:
x = π/6 + k2π, x = 5π/6 + k2π, x = -π/2 + k2π (k ∈ Z)
Phương pháp giải bài này là sử dụng công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai theo một hàm lượng giác. Sau đó, giải phương trình bậc hai và tìm nghiệm của phương trình lượng giác ban đầu.
Lưu ý:
Bài tập tương tự:
Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập tương tự sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải phương trình lượng giác. giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Tổng kết:
Bài 2.16 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và phương pháp giải phương trình là chìa khóa để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải các bài tập Toán 11.
