Bài 1.27 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = - 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)\) (t tính bằng giây, x tính bằng centimét).
Đề bài
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = - 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)\) (t tính bằng giây, x tính bằng centimét).
a) Tìm li độ lớn nhất của vật (còn gọi là biên độ dao động).
b) Xác định các thời điểm vật có li độ bằng 3 cm. Từ đó xác định thời điểm đầu tiên vật đạt li độ này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Lập luận dựa vào \(\cos a \ge - 1\forall a\).
b) Thay x = 3 vào phương trình. Giải phương trình tìm t.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \ge - 1\forall t\\ \Leftrightarrow - 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 6\forall t\end{array}\)
Vậy li độ lớn nhất của vật là 6 cm.
b)
\(\begin{array}{l} - 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + k12\\t = - 6 + k12\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy thời điểm đầu tiên vật đạt li độ bằng 3 là khi k = 0 suy ra t = 2 + k.0 = 2 giây.
Bài 1.27 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để xác định ảnh của một điểm hoặc một đường thẳng qua phép biến hóa cho trước. Để giải bài tập này, cần nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và cách biểu diễn phép biến hóa affine bằng ma trận.
Trong mặt phẳng, cho điểm M(1; 2). Tìm ảnh M' của M qua phép biến hóa affine f xác định bởi:
Để tìm ảnh M' của điểm M qua phép biến hóa affine f, ta chỉ cần thay tọa độ của M vào công thức của f.
Thay x = 1 và y = 2 vào công thức của f, ta được:
x' = 1 + 2(2) - 1 = 4
y' = 3(2) + 2 = 8
Vậy M'(4; 8).
Thay x = 1 và y = 2 vào công thức của f, ta được:
x' = 2(1) - 2 + 3 = 3
y' = 1 + 2 - 1 = 2
Vậy M'(3; 2).
Thay x = 1 và y = 2 vào công thức của f, ta được:
x' = 1 + 2 = 3
y' = 1 - 2 = -1
Vậy M'(3; -1).
Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng phép biến hóa affine vào việc tìm ảnh của một điểm. Ngoài ra, học sinh cũng cần nắm vững các tính chất của phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Đồng thời, cần chú ý đến việc kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm ảnh d' của d qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; x - y).
Để giải bài toán này, ta cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng d, sau đó tìm ảnh của hai điểm này qua phép biến hóa f. Cuối cùng, ta tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ảnh này. Đây là một bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về phép biến hóa affine và phương trình đường thẳng.
