Bài 8.20 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải nhanh chóng và hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Kim tự tháp Cheops của Ai Cập (còn gọi là kim tự tháp Khufu, được xây dựng vào khoảng 2 500 năm trước Công nguyên)
Đề bài
Kim tự tháp Cheops của Ai Cập (còn gọi là kim tự tháp Khufu, được xây dựng vào khoảng 2 500 năm trước Công nguyên) có dạng là một hình chóp tử giác đều với cạnh đáy dài khoảng 230 m và chiều cao khoảng 147m (Hình 8.48).
a) Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp này.
b) Tính số đo của các góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. (Nguồn : https://www.congluan.vn/dai-kim-tu-thap-giza-van-ky-la-va-bi-an-voi-cac-nha-khoa-hoc-post203156.html)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và đường cao đi qua tâm đáy.
a) Áp dụng Py-ta-go.
Diện tích xung quanh bằng 4 lần diện tích tam giác SBC.
b) - Cách tìm số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\):
+ Tìm giao tuyến d của (SCD) và (ACD).
+ Tìm \(a \subset \left( {SCD} \right)\) vuông góc với d. Tìm \(b \subset \left( {ACD} \right)\) vuông góc với d.
+ Tính \(\left( {a,b} \right)\).
- Áp dụng định lý Cosin.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{230}^2} + {{230}^2}} = 230\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow BO = 115\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow SB = \sqrt {S{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{147}^2} + {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} \approx 219\) (m)
Gọi E là trung điểm của BC. Tam giác SBC cân tại S nên SE vuông góc với BC
\(BE = \frac{{230}}{2} = 115\)
\(SE = \sqrt {S{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{115}^2}} \approx 186\)
\({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}.186.230 = 21390\)
Diện tích xung quanh là: \(21390.4 = 85560\)
b) Ta có:
SA vuông góc với AB
AD vuông góc với AB
Nên góc phẳng nhị diện tạo bởi (SAB) và (ABCD) là góc SAD
\(\cos \widehat {SAD} = \frac{{S{A^2} + A{D^2} - S{D^2}}}{{2SA.AD}} = \frac{{{{219}^2} + {{230}^2} - {{219}^2}}}{{2.219.230}}\)
\( \Rightarrow \widehat {SAD} \approx {58^0}\)
Bài 8.20 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các phương pháp giải bài toán tối ưu hóa.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, học sinh cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này bao gồm việc xác định đại lượng cần tối ưu hóa, các điều kiện ràng buộc, và miền xác định của các biến.
Sau khi đã xác định rõ yêu cầu của bài toán, học sinh cần xây dựng hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Sau đó, học sinh cần tìm đạo hàm của hàm số này.
Để tìm điểm cực trị của hàm số, học sinh cần giải phương trình đạo hàm bằng 0. Sau đó, học sinh cần xét điều kiện ràng buộc của bài toán để loại bỏ các điểm cực trị không thỏa mãn điều kiện.
Sau khi đã tìm được các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện ràng buộc, học sinh cần tính giá trị của đại lượng cần tối ưu hóa tại các điểm này. Điểm cực trị cho giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đại lượng cần tối ưu hóa là nghiệm của bài toán.
Đề bài: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Giải:
Ngoài bài toán trên, còn rất nhiều bài toán tối ưu hóa khác có thể được giải bằng phương pháp sử dụng đạo hàm. Các bài toán này thường liên quan đến việc tối ưu hóa diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận, hoặc các đại lượng khác trong các tình huống thực tế.
Để giải các bài toán này, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Khi giải bài toán tối ưu hóa, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 8.20 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.
