Giải Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 - giaitoan.edu.vn

Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích

Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và khả năng áp dụng chúng vào các hàm số phức tạp hơn.

Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Cho số thực dương a. Hãy rút gọn các biểu thức sau (giả sử mỗi biểu thức đều có nghĩa):

Đề bài

Cho số thực dương a. Hãy rút gọn các biểu thức sau (giả sử mỗi biểu thức đều có nghĩa):

a) \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{a^4}}} - \sqrt[5]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{{{a^{ - 2}}}}} \right)}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Áp dụng: \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}};{a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}.{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}.{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}}.{a^{ - \frac{1}{4}}}}}\\ = \frac{{{a^1} + {a^2}}}{{{a^1} + {a^0}}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1}} = a\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{a^4}}} - \sqrt[5]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{{{a^{ - 2}}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{1}{5}}}.{a^{\frac{4}{5}}} - {a^{\frac{1}{5}}}.{a^{\frac{{ - 1}}{5}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{{ - 2}}{3}}}}}\\ = \frac{{{a^1} - {a^0}}}{{{a^1} - {a^0}}} = \frac{{a - 1}}{{a - 1}} = 1\end{array}\)

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2: Giải chi tiết

Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Các quy tắc đạo hàm: Biết cách áp dụng các quy tắc đạo hàm như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc hàm hợp.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

Giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x)

Giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có:

g'(x) = cos(x) - sin(x)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = e^x + ln(x)

Giải:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và logarit, ta có:

h'(x) = e^x + 1/x

Lưu ý:

Khi tính đạo hàm, cần chú ý đến các quy tắc đạo hàm và áp dụng chúng một cách chính xác.
Cần kiểm tra lại kết quả sau khi tính đạo hàm để đảm bảo tính đúng đắn.

Để hiểu rõ hơn về đạo hàm và các ứng dụng của nó, học sinh nên tham khảo thêm các tài liệu học tập và luyện tập thường xuyên. Giaitoan.edu.vn cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết, bài tập luyện tập và các kiến thức bổ trợ giúp học sinh nắm vững kiến thức Toán 11.

Các dạng bài tập thường gặp trong Bài 6.3 trang 6 SGK Toán 11 tập 2

Tính đạo hàm của hàm số đơn thức: Ví dụ: f(x) = xⁿ, f'(x) = nx^n-1
Tính đạo hàm của hàm số đa thức: Ví dụ: f(x) = ax² + bx + c, f'(x) = 2ax + b
Tính đạo hàm của hàm số lượng giác: Ví dụ: f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x)
Tính đạo hàm của hàm số mũ và logarit: Ví dụ: f(x) = e^x, f'(x) = e^x
Tính đạo hàm của hàm hợp: Ví dụ: f(x) = sin(x²), f'(x) = cos(x²) * 2x

Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và nắm vững kiến thức về đạo hàm. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp học sinh có thể luyện tập và kiểm tra kiến thức của mình một cách hiệu quả.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm các điểm cực trị của hàm số, giúp xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa các bài toán thực tế, ví dụ như tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, hoặc hiệu suất.

Việc hiểu rõ các ứng dụng của đạo hàm sẽ giúp học sinh thấy được tính thực tế và hữu ích của kiến thức Toán học. Giaitoan.edu.vn luôn cố gắng cung cấp các bài giảng và bài tập liên hệ với thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của Toán học trong cuộc sống.