Bài 6.18 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập này một cách hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giải các bất phương trình:
Đề bài
Giải các bất phương trình:
a) \({\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\)
b) \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\)
c) \(\ln \left( {x + 1} \right) \le \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa \({\log _a}A > \alpha \) về dạng \({\log _a}A > {\log _a}B\)
Nếu a > 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\)
Nếu 0 < a < 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\)
Lời giải chi tiết
a) ĐK: x < 2
\(\begin{array}{l}{\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\\ \Leftrightarrow {\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge {\log _8}64\\ \Leftrightarrow 4 - 2x \ge 64\\ \Leftrightarrow x \le - 30\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra, bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\left. { - \infty ; - 30} \right]} \right.\)
b)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 3x - 5 < x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\2x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{3} < x < 3\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\frac{5}{3};3} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\ln \left( {x + 1} \right) \le \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < x + 1 \le {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\{x^2} - x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[ {\left. {2; + \infty } \right)} \right.\)
Bài 6.18 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán cụ thể liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, cũng như các bước thực hiện để tìm cực trị của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, học sinh cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 6.18, yêu cầu thường là tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu hoặc không có cực trị. Việc xác định đúng yêu cầu của bài toán là bước đầu tiên quan trọng để giải bài toán thành công.
Để tìm cực trị của hàm số, học sinh cần tính đạo hàm bậc nhất của hàm số. Sau đó, tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định. Các điểm này được gọi là các điểm dừng của hàm số.
Tiếp theo, học sinh cần xét dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại của hàm số. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số.
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
| Khoảng | x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
Khi giải bài toán tìm cực trị của hàm số, học sinh cần chú ý đến tập xác định của hàm số. Nếu hàm số không xác định tại một điểm, thì điểm đó không thể là điểm cực trị của hàm số.
Ngoài ra, học sinh cũng cần kiểm tra điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực trị của hàm số. Ngược lại, nếu đạo hàm bậc nhất không đổi dấu tại một điểm dừng, thì điểm đó không phải là điểm cực trị của hàm số.
Việc tìm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số, tối ưu hóa một bài toán, hoặc giải các bài toán liên quan đến hình học.
Hiểu rõ về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số là nền tảng quan trọng để học sinh có thể giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 và các chương trình học cao hơn.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi luôn cập nhật và cung cấp các lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập Toán 11 một cách hiệu quả, giúp học sinh đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
