Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học và đại số. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, phép toán vectơ và các ứng dụng của vectơ trong không gian.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập tối ưu cho Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Vị trí ban đầu của một chất điểm trên trục \(Ox\) cách gốc tọa độ \(50cm\) về phía phải. Nó bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) theo hướng dương.
Đề bài
Vị trí ban đầu của một chất điểm trên trục \(Ox\) cách gốc tọa độ \(50cm\) về phía phải. Nó bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) theo hướng dương. Giây đầu tiên nó di chuyển được \(40cm\), giây thứ hai được \(20cm...\), cứ mỗi giấy tiếp theo nó di chuyển một đoạn bằng \(\frac{1}{2}\) đoạn đường đi được trong giây ngay trước đó.
a) Tính khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau \(5\) giây.
b) Tại thời điểm nào kể từ lúc bắt đầu chuyện động, chất điểm cách \(O\) một khoảng \(135cm\)? Giả thiết rằng chuyển động của chất điểm không bao giờ chấm dứt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tổng của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) với \(\left| q \right| < 1\)
Khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau 5 giây chính là tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Lời giải chi tiết
a) Dựa vào dữ kiện bài toán ta thấy đoạn đường di chuyển mỗi dây của chất điểm chính là các số hạng của 1 cấp số nhân có \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\)
Khi đó khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau 5 giây chính là
\({S_5} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 40 + 20 + 10 + 5 + \frac{5}{2} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 77,5\,\,cm\)
b) Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) với \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\), ta có: \({S_n} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)\)
Cách 1: Chất điểm cách gốc O một đoạn bằng 135 \(cm\) tức là \({S_n} = 135\)
Suy ra: \(80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 135 \Leftrightarrow 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = \frac{{17}}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = - \frac{{11}}{{16}}\) vô lí
Vậy chất điểm không cách \(O\) một khoảng 135 cm
Cách 2: Ta có \(\lim \,{S_n} = \lim 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 80\) do đó chất điểm chỉ cách gốc \(O\) một khoảng xa nhất là 80 cm nên chất điểm không bao giờ cách O một khoảng 135 cm
Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vectơ. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. Chúng ta có thể sử dụng vectơ để giải quyết bài toán này bằng cách chứng minh rằng vectơ AB và vectơ AC cùng phương. Cụ thể, chúng ta có thể tính tọa độ của các vectơ AB và AC, sau đó kiểm tra xem hai vectơ này có cùng phương hay không. Nếu hai vectơ cùng phương, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ngoài bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, còn có nhiều dạng bài tập khác liên quan đến vectơ mà học sinh cần nắm vững, bao gồm:
Để giải Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 và các bài tập liên quan một cách hiệu quả, học sinh cần:
Vectơ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong Toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập tối ưu mà giaitoan.edu.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 11 và đạt kết quả tốt nhất.
