Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, thuộc chủ đề về vectơ. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học và đại số.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm các giới hạn:
Đề bài
Tìm các giới hạn:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực
Áp dụng các công thức sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\)
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) với số mũ lớn nhất
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\)
Lời giải chi tiết
a,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 3}}{{x + 4}} = \frac{{4 + 3}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\)
b,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{1^3} + {1^2} + 1 + 1}}{{{1^2} + 1 + 1}} = \frac{4}{3}\)
c,
Chia cả từ và mẫu cho \({x^3}\) ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\)
d,
Chia cả tử và mẫu cho \(x\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)
Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ trong không gian. Để hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một.
Cho hai vectơ a và b. Biết a = (2; -1; 3) và b = (1; 0; -1). Tính a.b.
Để tính tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2), ta sử dụng công thức:
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Áp dụng công thức này vào bài toán, ta có:
a.b = (2)(1) + (-1)(0) + (3)(-1) = 2 + 0 - 3 = -1
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là -1.
Bài tập này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của tích vô hướng trong việc tính toán các đại lượng hình học và đại số. Để nắm vững kiến thức này, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự với các vectơ khác nhau.
Ví dụ:
Khi giải các bài tập về tích vô hướng, bạn cần lưu ý những điều sau:
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1. Hãy luyện tập thêm để nâng cao kỹ năng giải toán của mình nhé!
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán.
