Bài 9.14 trang 102 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 9.14 trang 102 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (Hình 9,3).
Đề bài
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (Hình 9,3). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng \( \Rightarrow n\left( \Omega \right)\)
Gọi A là biến cố: “Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu”. Tính \(n\left( A \right)\).
Lời giải chi tiết
Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng \(n\left( \Omega \right) = {8^3}\)
Gọi A là biến cố: “Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu”
TH1: Quân vua di chuyển bước thứ nhất sang ô đen liền kề (được tô màu đỏ) có 4
cách.
Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 4 cách.
Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.
Vậy TH này có 4.4 = 16 cách.
TH2: Quân vua di chuyển bước thứ nhất sang các ô trắng liền kề (được tô màu đỏ) có 4 cách.
Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 2 cách.
Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.
Vậy TH này có 4.2 = 8 cách
\(n\left( A \right) = 8.3 = 24 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{24}}{{{8^3}}} = \frac{3}{{64}}\)
Bài 9.14 trang 102 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Phân tích bài toán:
Để giải Bài 9.14 trang 102 SGK Toán 11 tập 2, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
Sau khi xác định được các yếu tố này, chúng ta có thể áp dụng các điều kiện song song, vuông góc để kết luận về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải, công thức sử dụng và kết luận. Lời giải sẽ được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, có thể kèm theo hình vẽ minh họa nếu cần thiết.)
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài toán yêu cầu xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z = 5.
Ta có: Vectơ chỉ phương của d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (2, -1, 1).
Ta thấy a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P).
Để kiểm tra xem d có song song với (P) hay không, ta cần kiểm tra xem a có vuông góc với n hay không. Ta đã tính a.n = 5 ≠ 0, vậy d không song song với (P).
Do đó, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P). Để tìm giao điểm của d và (P), ta thay x, y, z của d vào phương trình (P):
2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) = 5
2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t = 5
5t + 3 = 5
5t = 2
t = 2/5
Thay t = 2/5 vào phương trình d, ta được giao điểm I(1 + 2/5, 2 - 2/5, 3 + 2*(2/5)) = (7/5, 8/5, 19/5).
Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm I(7/5, 8/5, 19/5).
Bài tập tương tự:
Kết luận:
Bài 9.14 trang 102 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Việc nắm vững các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và mặt phẳng là điều kiện cần thiết để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
